қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год
Задача №1. На доске написаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 2023. За ход разрешается выбрать любые два числа, стереть их и вписать среднее арифметическое вместо этих двух стертых чисел. Можно ли за 2022 таких хода получить число 2?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сколькими способами в каждой клетке таблицы $4\times 4$ можно расположить цифры 0 и 1 так, чтобы сумма чисел в каждом столбце и сумма чисел в каждой строчке была четной?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Натуральное число $2a$ имеет 8 делителей (включая 1 и само число), а натуральное число $3a$ имеет менее 6 делителей. Какой цифрой может оканчиваться число $2023a$?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. В треугольнике $BCD$ на стороне $BD$ отметили точку $A$. Оказалось, что $AC=BD$ и $\angle DBC=2\angle ACB$. Докажите, что $AB+BC>CD$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Сколько существует перестановок $(a_1,a_2,\ldots, a_8)$ чисел $(1,2,\ldots,8)$, для которых выполнено равенство $a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8?$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Даны натуральные числа $a,b,n$. Известно, что $n$ делится и на число $a^5$ и на число $b^5$. Докажите, что $n$ делится на все числа $a^4b$, $a^3b^2$, $a^2b^3$, $ab^4$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно: $\angle ADC=90^\circ$, $AB=BD=DC$. На стороне $AD$ взята точка $M$ такая, что $\angle AMB=\angle DMC$. Докажите, что $\angle ABD=2\angle BMC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Дан квадрат $9 \times 9$, в каждой клетке стоит по пешке. Ходя по очереди два игрока играют следующим образом. Начинающий первый игрок за один свой ход указывает на две пешки, стоящих в соседних по стороне клетках. Затем второй своим ходом одну из этих пешек убирает. Как только оказывается, что у какой-то из оставшихся на доске пешки выкинуты две соседние пешки по стороне, игра заканчивается. Какое наибольшее количество пешек $n$ первый игрок может себе обеспечить, чтобы независимо от действий второго игрока, осталось гарантированно $n$ пешек?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)