Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно: $\angle ADC=90^\circ$, $AB=BD=DC$. На стороне $AD$ взята точка $M$ такая, что $\angle AMB=\angle DMC$. Докажите, что $\angle ABD=2\angle BMC$.

Комментарий/решение

Пусть $B'$ - точка, симметричная $B$ относительно $AD$, то есть это аллегория на то, что в задаче можно сделать дополнительное построение (из ниоткуда), тогда верно, что $\angle CMD=\angle BMA=\angle B'MA$, то есть $C,M,B'$ лежат на одной прямой по вертикальным углам. $DB=DB'=DC$, то есть (важное наблюдение) $\triangle CDB'$ - равнобедренный, а значит $\angle DCB'=\angle DB'C$, но $\angle DCB'=\angle CB'B$, как внутренние накрест лежащие при $CD||BB'(!!!)$ и $CB'$, а $MB'=MB$. Из последнего делаем вывод, что треугольника $BMB'$ - равнобедренный, что символизирует то, что в треугольнике $BMB'$ есть две равные стороны - $MB'$ и $MB$, из-за чего $\angle MB'B=\angle MBB'=\angle BB'C=\angle DB'C$. Заметим, что $\angle CMB=\angle MBB'+\angle MB'B$, как внешний угол треугольника $MBB'$, что характеризует $\angle CMB$, как угол, чья величина равна сумме не смежных с ним, по треугольнику углов. Так как $BA=AB'=B'D=DB$ верен факт того, что $DB'AB$ является ромбом$(!!!)$. Отсюда можно сделать важный (очень) вывод: $\angle DB'B=\angle AB'B$, но как оказалось ранее $\angle DB'C=\angle CB'B$, но не менее не важно, что из вышеперечисленного следует, что $B'M$ - биссектриса $\angle DB'B$, что значит, что $B'M$ делит угол $\angle DB'B$ пополам. Это приводит к тому, что оказывается, что $\angle DB'B=\angle CMB=\dfrac{\angle AB'D}{2},$ это и было желанным.