Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Есеп №1. Тақтада 1, 2, 3, $\ldots$, 2023 сандары жазылған. Бір жүрісте кез келген екі санды таңдап, оларды өшіріп, олардың орнына осы екі өшірілген санның арифметикалық ортасын жазуға болады. Осындай операциялар арқылы 2022 жүрістен кейін 2 санын алуға болады ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. 0 және 1 сандарын $4\times 4$ кестесінің әрбір ұяшығына әр бағандағы сандардың қосындысы мен әр жолдағы сандардың қосындысы жұп болатындай етіп неше тәсілмен орналастыруға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Натурал болатын $2a$ санында 8 бөлгіш бар (1-ді және санның өзін есептегенде), ал натурал $3a$ санында бөлгіш саны 6-дан аз. $2023a$ санымен қандай цифр аяқталуы мүмкін?
комментарий/решение(4)

Есеп №4. $BCD$ үшбұрышында $BD$ қабырғасында $A$ нүктесі белгіленген. $AC=BD$ және $\angle DBC=2\angle ACB$ екені белгілі. $AB+BC>CD$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. $(1,2,\ldots,8)$ сандарының неше $(a_1,a_2,\ldots, a_8)$ орын ауыстырулары үшін $a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8$ теңдігі орындалады?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Натурал $a,b,n$ сандары берілген. $n$ саны $a^5$ санына да, $b^5$ санына да бөлінетіні белгілі. $n$ саны $a^4b$, $a^3b^2$, $a^2b^3$, $ab^4$ сандарының әрқайсысына бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $\angle ADC=90^\circ$, $AB=BD=DC$ екені белгілі. $AD$ қабырғасында $\angle AMB=\angle DMC$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $\angle ABD=2\angle BMC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Өлшемі $9 \times 9$ шаршы берілген, оның әр ұяшығында бір пешкадан тұр. Екі ойыншы кезекпен жүре, келесі ойын ойнайды. Бірінші (ойынды бастайтын) ойыншы өз жүрісінде қабырға бойынша көрші тұрған екі ұяшықтағы екі пешканы көрсетеді. Сосын екінші ойыншы осы екі пешканың біреуін өз қалауынша алып тастайды. Тақтада алғаш рет қабырға бойынша көрші орналасқан екі көршісі алынып тасталған қандай да бір пешка табылған кезде, ойын аяқталады. Екінші ойыншының әрекетіне қарамастан тақтада кепілді түрде $n$ пешка қалатындай етіп, бірінші ойыншы өзіне мүмкіндігінше ең үлкен қандай $n$ санын ала алады?
комментарий/решение(1)