Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Даны натуральные числа $a,b,n$. Известно, что $n$ делится и на число $a^5$ и на число $b^5$. Докажите, что $n$ делится на все числа $a^4b$, $a^3b^2$, $a^2b^3$, $ab^4$.

Комментарий/решение

$(a,b)=d$

$a=xd$

$b=yd$

$(x,y)=1$

$(x⁵,y⁵)=1$

$n:(xyd)⁵ \in N$

$(xyd)⁵:a⁴b;a³b²;a²b³;ab⁴ \in N$

Уважаемый, Ануар, я считаю чтоваше решение не обоснованно. Т.к вы не доказали некоторые факты которые использовали в решении. Прошу вас исправить эту дыру.

Тк у $a,b$ должен быть какой то Нод, обозначим его как $x$

Значит $n=(\frac{a}{x})^5 \times (\frac{b}{x})^5 \times k \times x^5$ (k- это оставшиеся множители, которые нельзя выразить через множители a,b) и при этом главное условие $a,b=0 (mod$ $ x)$ и $a,b>x$ (или равно) значит рассмотрим делители .

$n=a^5 \times b^5 : x^5 \times k$, отсюда вот деление на $a^4b$ останется $a^4\times b : x^5 \times k.$ И так как сумма степени $ a,b $ всегда равна пяти (после деления), то они больше чем $x$ и начисто делятся на него , значит доказано