Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2021 год

Задача №1. Даны действительные ненулевые числа $a,$ $b,$ $c$ такие, что $\frac{ab}{a+b}=20$, $\frac{bc}{b+c}=21$ и $\frac{ca}{c+a}=22$. Пусть $\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{m}{n}$. Оказалось, что $m$ и $n$ это натуральные числа и $\text{НОД}(m,n)=1$. Найдите значение суммы $m+n$.
комментарий/решение

Задача №2. Даны три попарно различных натуральных числа. Известно, что сумма любых двух из них делится на третье число. Докажите, что эти числа относятся друг другу как 1:2:3.
комментарий/решение

Задача №3. Семизначный телефонный номер $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$, составленный из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, считается запоминающимся, если трехзначный номер $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$ равен хотя бы одному из трехзначных номеров $\overline{{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ или $\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$. Найдите число всех семизначных запоминающихся номеров. Напоминаем, что телефонные номера могут начинаться с цифры 0.
комментарий/решение

Задача №4. На сторонах $YZ$ и $XY$ треугольника $XYZ$ нашлись точки $L$ и $K$ соответственно, такие что $XL$ — биссектриса угла $YXZ$, $\angle XZK=\angle XYZ$, $\angle ZLK=\angle YKZ$. Докажите, что $XZ=KY$.
комментарий/решение

Задача №5. Куб натурального числа $n$ равно $20^{21}$. Сколько цифр содержит десятичная запись числа $n$?
комментарий/решение

Задача №6. Учитель на доске написал два натуральных числа, и попросил детей в черновике сложить эти числа. Когда ученик складывал два этих числа, по ошибке в конце одного из них приписал лишнюю цифру. В результате он вместо суммы 12356 получил сумму 44444. Какие два числа учитель написал на доске?
комментарий/решение

Задача №7. В треугольнике $ABC$ $\angle CAB=80^\circ$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ этого треугольника пересекаются в точке $O$. На луче $CA$ за точку $A$ отмечена точка $K$, на луче $CB$ за точку $B$ отмечена точка $L$ такие, что $AK=AO$ и $BL=BO$. Найдите значение угла $KOL$.
комментарий/решение

Задача №8. За круглым столом сидят 20 человек: лжецы, которые всегда лгут, и правдивые, которые всегда говорят правду. В ходе опроса 10 человек сказали: «Оба мои соседа слева и справа -- лжецы». Остальные 10 человек заявили: «Среди двух моих соседей слева и справа ровно один -- лжец». Какое наибольшее число лжецов может оказаться за таким столом? (Предполагается, что каждый из присутствующих знает о каждом из остальных — лжец он или правдивый.)
комментарий/решение