Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2021 год

Есеп №1. Нөлден өзгеше нақты $a,$ $b,$ $c$ сандары үшін $\frac{ab}{a+b}=20$, $\frac{bc}{b+c}=21$ және $\frac{ca}{c+a}=22$ теңдіктері орындалады. $\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{m}{n}$ болсын. Сонда $m$ және $n$ сандары натурал және $\text{ЕҮОБ}(m,n)=1$ болып шыққан. $m+n$ қосындысының мәнін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №2. Қос-қостан әртүрлі үш натурал сан берілген. Олардың кез келген екеуінің қосындысы үшінші санға бөлінеді. Осы сандардың қатынасы 1:2:3 қатынасындай екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрларынан құралған жеті таңбалы $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$ телефон нөмірі есте сақталмалы нөмір деп аталады, егер үш таңбалы $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$ нөмірі үш таңбалы $\overline{{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ немесе $\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$ нөмірлерінің кемінде біреуіне тең болса. Жеті таңбалы қанша есте сақталмалы телефон нөмірлері бар? Телефон нөмірі 0 цифрасымен бастала алатынын еске түсіреміз.
комментарий/решение

Есеп №4. $XYZ$ үшбұрышының $YZ$ және $XY$ қабырғаларында $XL$ — $YXZ$ бұрышының биссектрисасы, $\angle XZK=\angle XYZ$, $\angle ZLK=\angle YKZ$ болатындай сәйкесінше $L$ және $K$ нүктелері табылған. $XZ=KY$ екенін дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №5. Натурал $n$ санының кубы $20^{21}$ санына тең. $n$ саны қанша цифрдан тұрады?
комментарий/решение

Есеп №6. Мұғалім тақтаға екі натурал сан жазып, балалардан осы сандардың қосындысын табуды сұрады. Оқушы қосуды орындау кезінде, қателесіп бір санның соңына артық цифр жазып қойып, сосын қосу амалын орындады. Нәтижесінде дұрыс 12356 жауаптың орнына ол 44444 қате жауабын алды. Мұғалім тақтаға қандай екі сан жазған?
комментарий/решение

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышында $\angle CAB=80^\circ$. Үшбұрыштың $A$ және $B$ бұрыштарының биссектрисалары $O$ нүктесінде қиылысады. $CA$ сәулесінде $A$ нүктесінен ары қарай $K$ нүктесі, $CB$ сәулесінде $B$ нүктесінен ары қарай $L$ нүктесі $AK=AO$ және $BL=BO$ болатындай алынған. $KOL$ бұрышының градустық шамасы нешеге тең?
комментарий/решение

Есеп №8. Дөңгелек үстел бойында 20 адам отыр. Олардың әрқайсысы немесе шыншыл, немесе өтірікші. Өтірікші әрқашанда да өтірік, ал шыншыл — шындықты айтады. Сауалнама барысында 10 адам: «Менің оң жақтағы да, сол жақтағы көршілерім екеуі де өтірікші» деп жауап берді. Қалған 10 адам: «Менің оң және сол жағымдағы екі көршімнің ішінде дәл бір өтірікші бар.» — деді. Үстел бойындағы адамдардың ең көп дегенде қаншасы өтірікші бола алады? (Үстелде отырғандар басқалардың кім екені туралы біледі деп есептеледі.)
комментарий/решение