Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2021 год

Задача №1. Даны действительные ненулевые числа

$a,$

$b,$

$c$ такие, что

$\frac{ab}{a+b}=20$ ,

$\frac{bc}{b+c}=21$ и

$\frac{ca}{c+a}=22$ . Пусть

$\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{m}{n}$ . Оказалось, что

$m$ и

$n$ это натуральные числа и

$\text{НОД}(m,n)=1$ . Найдите значение суммы

$m+n$ .
комментарий/решение

Задача №2. Даны три попарно различных натуральных числа. Известно, что сумма любых двух из них делится на третье число. Докажите, что эти числа относятся друг другу как 1:2:3.
комментарий/решение

Задача №3. Семизначный телефонный номер

$\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$ , составленный из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, считается запоминающимся, если трехзначный номер

$\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}}$ равен хотя бы одному из трехзначных номеров

$\overline{{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ или

$\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$ . Найдите число всех семизначных запоминающихся номеров. Напоминаем, что телефонные номера могут начинаться с цифры 0.
комментарий/решение

Задача №4. На сторонах

$YZ$ и

$XY$ треугольника

$XYZ$ нашлись точки

$L$ и

$K$ соответственно, такие что

$XL$ — биссектриса угла

$YXZ$ ,

$\angle XZK=\angle XYZ$ ,

$\angle ZLK=\angle YKZ$ . Докажите, что

$XZ=KY$ .
комментарий/решение

Задача №5. Куб натурального числа

$n$ равно

$20^{21}$ . Сколько цифр содержит десятичная запись числа

$n$ ?
комментарий/решение

Задача №6. Учитель на доске написал два натуральных числа, и попросил детей в черновике сложить эти числа. Когда ученик складывал два этих числа, по ошибке в конце одного из них приписал лишнюю цифру. В результате он вместо суммы 12356 получил сумму 44444. Какие два числа учитель написал на доске?
комментарий/решение

Задача №7. В треугольнике

$ABC$

$\angle CAB=80^\circ$ . Биссектрисы углов

$A$ и

$B$ этого треугольника пересекаются в точке

$O$ . На луче

$CA$ за точку

$A$ отмечена точка

$K$ , на луче

$CB$ за точку

$B$ отмечена точка

$L$ такие, что

$AK=AO$ и

$BL=BO$ . Найдите значение угла

$KOL$ .
комментарий/решение

Задача №8. За круглым столом сидят 20 человек: лжецы, которые всегда лгут, и правдивые, которые всегда говорят правду. В ходе опроса 10 человек сказали: «Оба мои соседа слева и справа -- лжецы». Остальные 10 человек заявили: «Среди двух моих соседей слева и справа ровно один -- лжец». Какое наибольшее число лжецов может оказаться за таким столом? (Предполагается, что каждый из присутствующих знает о каждом из остальных — лжец он или правдивый.)
комментарий/решение