Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. На прямой отмечены четыре различные точки. Для каждой из них вычисляется сумма расстояний от этой точки до трех других. Может ли в результате образоваться следующая четверка чисел?
а) 29, 29, 35, 37;
б) 28, 29, 35, 37;
в) 28, 34, 34, 37.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Обозначим через

$S\left( n \right)$ сумму цифр в десятичной записи натурального числа

$n$ . Вычислите значение выражения

$S\left( 1 \right)-S\left( 2 \right)+S\left( 3 \right)-S\left( 4 \right)+\dots +S\left( 2013 \right)-S\left( 2014 \right).$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$ABCD$ — прямоугольник. Окружность с центром в точке

$D$ радиуса

$DA$ пересекает продолжение стороны

$AD$ в точке

$P$ . Прямая

$PC$ пересекает во второй раз окружность в точке

$Q$ , а прямую

$AB$ — в точке

$R$ . Докажите, что

$BQ=BR$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
комментарий/решение(7)

Задача №5. Решите уравнение

${{2}^{m+2n+1}}+{{4}^{m}}+{{16}^{n}}={{4}^{k}}$ в натуральных числах

$m$ ,

$n$ ,

$k$ .
комментарий/решение(4)

Задача №6. Докажите, что если

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — длины сторон некоторого треугольника, то система

$\left\{ \begin{matrix} a\left( yz+x \right)=b\left( zx+y \right)=c\left( xy+z \right), \\ x+y+z=1, \\ \end{matrix} \right.$ имеет решение в положительных числах

$x$ ,

$y$ ,

$z$ .
комментарий/решение(1)