Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс
Комментарий/решение:
$2^{m+2n+1}+4^m+16^n=4^k$
$2(2^{m+2n}+2^{2m-1}+2^{4n-1})=2^{2k}$
Поделим обе стороны на $2$ , и заметим что $2$ числа будут равно так как если вывезти за скобку наименьший степень $2$ , то так как за скобкой степень $2$ и в скобке должен быть степень $2$ . А если у нас нету равных чисел то в скобке получим $(1+2^i+2^j)$ что не даст степень $2$
Значит $2$ числа равны , и при этом третья число должна быть больше чем остальные $2$ в противном случае тоже не получим степень $2$ в скобке
Тогда с помощью перебора понимаем что только $2^{2m-1}$ и $2^{4n-1}$ могут быть равны , значит $m=2n$
Значит наше уравнение имеет вид
$2^{4n}+2^{4n-1}+2^{4n-1}=2^{4n-1}(1+1+2)=2^{4n+1}$
Тогда $2^{2k-1}=2^{4n+1} \Rightarrow k=2n+1$
Тогда $(n;m;k)=(n;2n;2n+1)$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.