Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

Решите уравнение ${{2}^{m+2n+1}}+{{4}^{m}}+{{16}^{n}}={{4}^{k}}$ в натуральных числах $m$, $n$, $k$.

Комментарий/решение

$2^{m+2n+1}+4^m+16^n = 4^k\\ 2^{m}4^n*2+2^{2m}+4^{2n}=4^k\\ (2^m+4^n)^2=(2^k)^2\\ 2^m+4^n=2^k$

Так как $2^k-2^m=2^{2n}$

тогда числа $k-m=1$ , откуда решения $k=2n+1\\ m=2n\\ n=n$

$m=2n$

$k=2n+1$

А как же

$m=10 ; n=5 ; k=11$

$2^{m+2n+1}+4^m+16^n=4^k$

$2(2^{m+2n}+2^{2m-1}+2^{4n-1})=2^{2k}$

Поделим обе стороны на $2$ , и заметим что $2$ числа будут равно так как если вывезти за скобку наименьший степень $2$ , то так как за скобкой степень $2$ и в скобке должен быть степень $2$ . А если у нас нету равных чисел то в скобке получим $(1+2^i+2^j)$ что не даст степень $2$

Значит $2$ числа равны , и при этом третья число должна быть больше чем остальные $2$ в противном случае тоже не получим степень $2$ в скобке

Тогда с помощью перебора понимаем что только $2^{2m-1}$ и $2^{4n-1}$ могут быть равны , значит $m=2n$

Значит наше уравнение имеет вид

$2^{4n}+2^{4n-1}+2^{4n-1}=2^{4n-1}(1+1+2)=2^{4n+1}$

Тогда $2^{2k-1}=2^{4n+1} \Rightarrow k=2n+1$

Тогда $(n;m;k)=(n;2n;2n+1)$