қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. На прямой отмечены четыре различные точки. Для каждой из них вычисляется сумма расстояний от этой точки до трех других. Может ли в результате образоваться следующая четверка чисел?
а) 29, 29, 35, 37;
б) 28, 29, 35, 37;
в) 28, 34, 34, 37.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Обозначим через $S\left( n \right)$ сумму цифр в десятичной записи натурального числа $n$. Вычислите значение выражения
$$
S\left( 1 \right)-S\left( 2 \right)+S\left( 3 \right)-S\left( 4 \right)+\dots +S\left( 2013 \right)-S\left( 2014 \right).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $ABCD$ — прямоугольник. Окружность с центром в точке
$D$ радиуса $DA$ пересекает продолжение стороны $AD$ в точке $P$.
Прямая $PC$ пересекает во второй раз окружность в точке $Q$, а
прямую $AB$ — в точке $R$. Докажите, что $BQ=BR$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №5. Решите уравнение ${{2}^{m+2n+1}}+{{4}^{m}}+{{16}^{n}}={{4}^{k}}$ в натуральных числах $m$, $n$, $k$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. Докажите, что если $a$, $b$, $c$ — длины сторон некоторого треугольника, то система
$$
\left\{ \begin{matrix}
a\left( yz+x \right)=b\left( zx+y \right)=c\left( xy+z \right), \\
x+y+z=1, \\
\end{matrix} \right.
$$
имеет решение в положительных числах $x$, $y$, $z$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)