Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып

Егер $a$, $b$, $c$ — үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтарына тең болса, онда $$\left\{ \begin{array}{l} a\left( {yz + x} \right) = b\left( {zx + y} \right) = c\left( {xy + z} \right),\\ x + y + z = 1, \end{array} \right.$$ жүйесінің $x$, $y$, $z$ оң сандар жиынында шешімі бар екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $a=n+m, \ b=m+t, \ c=n+t$ где $m,n,t$ касательные к вписанной окружности в треугольник.

Тогда уравнения выше учитывая второе уравнение, представить как

$(m+n)(y-1)=(m+t)(x-1) \\ (m+t)(z-1)=(n+t)(y-1) \\ (m+n)(z-1)=(n+t)(x-1)$

Откуда выражая

$x=\dfrac{t}{m+n+t} \\ y=\dfrac{n}{m+n+t} \\ z=\dfrac{m}{m+n+t}$

Откуда $x,y,z>0$