қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Два бегуна бегают с равными постоянными скоростями по диагоналям $AC$ и $BD$ соответственно квадрата $ABCD.$ Добежав до конца диагонали, бегун сразу поворачивает обратно. Стартовали они одновременно из двух случайно выбранных точек своих диагоналей. Докажите, что найдётся момент, когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k,$ большие 1, таковы, что каждое из чисел $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, ${p_{100}}p_1^3$ равно произведению каких-то двух из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k.$ Докажите, что $k \ge 150$.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В клетках таблицы $10\times 10$ расставлены натуральные числа 1, 2, $\ldots$, 99, 100. Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата $2\times 2$. Назовем уголок хорошим, если число в его клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках. Каково наибольшее возможное число хороших уголков? (Каждый уголок учитывается независимо от того, как он расположен по отношению к другим, разные уголки могут частично накладываться).
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $E.$ Биссектриса $AL$ пересекает отрезок $BE$ в точке $X.$ Оказалось, что $AX=XE$ и $AL=BX.$ Чему равно отношение углов $A$ и $B$ треугольника?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. По кругу расставлено 99 положительных чисел. Оказалось, что для любых четырех стоящих подряд чисел сумма двух первых из них по часовой стрелке равна произведению двух последних из них по часовой стрелке. Чему может быть равна сумма всех 99 расставленных чисел?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)