Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все пятерки простых чисел

(q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5})

$(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5 )$ , для которых число

q_{1}^{4} + q_{2}^{4} + q_{3}^{4} + q_{4}^{4} + q_{5}^{4}

$q_1^4+q_2^4+q_3^4+q_4^4+q_5^4$ равно произведению двух последовательных четных натуральных чисел.
комментарий/решение(5)

Задача №2. Пусть

X

$X$ — точка на стороне

B C

$BC$ треугольника

A B C

$ABC$ . Прямая, параллельная

A B

$AB$ и проходящая через

X

$X$ , пересекает

C A

$CA$ в точке

V

$V$ , а прямая, параллельная

A C

$AC$ и проходящая через

X

$X$ , пересекает

A B

$AB$ в точке

W

$W$ . Прямые

B V

$BV$ и

X W

$XW$ пересекаются в точке

D

$D$ , а прямые

C W

$CW$ и

X V

$XV$ пересекаются в точке

E

$E$ . Докажите, что

1 / D E = 1 / B X + 1 / C X

$1/DE=1/BX+1/CX$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Решите систему уравнений

\sqrt{x} - \frac{1}{y} = \sqrt{y} - \frac{1}{z} = \sqrt{z} - \frac{1}{x} = \frac{7}{4}

$\sqrt x-\dfrac{1}{y}=\sqrt y-\dfrac{1}{z}=\sqrt z-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}$ в вещественных числах.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Последовательность вещественных чисел

u_{1}, u_{2}, \dots

$u_1,u_2, \dots$ удовлетворяет условиям

u_{1} = 1

$u_1=1$ и

u_{n} = \frac{1}{u_{1} + \dots + u_{n - 1}}

$u_n=\dfrac{1}{u_1+ \dots +u_{n-1}}$ при

n > 1

$n>1$ . Докажите, что существует такое натуральное

N

$N$ , что

u_{1} + u_{2} + \dots + u_{N} > 2013

$u_1+u_2+ \dots +u_N>2013$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В выпуклом пятиугольнике

A B C D E

$ABCDE$

A B = B C

$AB=BC$ и

∠ B C D = ∠ E A B = 90^{\circ}

$\angle BCD=\angle EAB=90^\circ$ . Внутри пятиугольника взята такая точка

X

$X$ , что

A X ⊥ B E

$AX\perp BE$ и

C X ⊥ B D

$CX\perp BD$ . Докажите, что

B X ⊥ D E

$BX\perp DE$ .
комментарий/решение(2)