Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Пусть $X$ — точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Прямая, параллельная $AB$ и проходящая через $X$, пересекает $CA$ в точке $V$, а прямая, параллельная $AC$ и проходящая через $X$, пересекает $AB$ в точке $W$. Прямые $BV$ и $XW$ пересекаются в точке $D$, а прямые $CW$ и $XV$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $1/DE=1/BX+1/CX$.

Комментарий/решение

Треугольники $WED;WCX$ подобны , так же как и $VED;VBX$ . Докажем это , так как $XW;VX$ параллельны соответственно сторонам $AC;AB$ , получаем что нужно доказать соотношение $\frac{EW}{CE} = \frac{WD}{DX}$ , так как $\frac{EW}{CE}=\frac{XW}{CV}$ и $\frac{WD}{XD}=\frac{BW}{XV}$ , тогда как $\frac{CV}{XW}=\frac{CX}{BX}$ из подобия треугольников $\Delta BWX ; BAC$,так же и $\frac{BW}{XV}=\frac{BX}{CX}$ из подобия треугольников $CVX;CAB$ , откуда $\frac{CX}{ED}=\frac{CX}{BX}+1$ , поделив данное условие на $CX$ получаем требуемое