Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все пятерки простых чисел

$(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5 )$ , для которых число

$q_1^4+q_2^4+q_3^4+q_4^4+q_5^4$ равно произведению двух последовательных четных натуральных чисел.
комментарий/решение(5)

Задача №2. Пусть

$X$ — точка на стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ . Прямая, параллельная

$AB$ и проходящая через

$X$ , пересекает

$CA$ в точке

$V$ , а прямая, параллельная

$AC$ и проходящая через

$X$ , пересекает

$AB$ в точке

$W$ . Прямые

$BV$ и

$XW$ пересекаются в точке

$D$ , а прямые

$CW$ и

$XV$ пересекаются в точке

$E$ . Докажите, что

$1/DE=1/BX+1/CX$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Решите систему уравнений

$\sqrt x-\dfrac{1}{y}=\sqrt y-\dfrac{1}{z}=\sqrt z-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}$ в вещественных числах.
комментарий/решение(2)

Задача №4. Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Последовательность вещественных чисел

$u_1,u_2, \dots$ удовлетворяет условиям

$u_1=1$ и

$u_n=\dfrac{1}{u_1+ \dots +u_{n-1}}$ при

$n>1$ . Докажите, что существует такое натуральное

$N$ , что

$u_1+u_2+ \dots +u_N>2013$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В выпуклом пятиугольнике

$ABCDE$

$AB=BC$ и

$\angle BCD=\angle EAB=90^\circ$ . Внутри пятиугольника взята такая точка

$X$ , что

$AX\perp BE$ и

$CX\perp BD$ . Докажите, что

$BX\perp DE$ .
комментарий/решение(2)