қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все пятерки простых чисел $(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5 )$, для которых число $q_1^4+q_2^4+q_3^4+q_4^4+q_5^4$ равно произведению двух последовательных четных натуральных чисел.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Пусть $X$ — точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Прямая, параллельная $AB$ и проходящая через $X$, пересекает $CA$ в точке $V$, а прямая, параллельная $AC$ и проходящая через $X$, пересекает $AB$ в точке $W$. Прямые $BV$ и $XW$ пересекаются в точке $D$, а прямые $CW$ и $XV$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что $1/DE=1/BX+1/CX$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Решите систему уравнений $ \sqrt x-\dfrac{1}{y}=\sqrt y-\dfrac{1}{z}=\sqrt z-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}$ в вещественных числах.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Последовательность вещественных чисел $u_1,u_2, \dots $ удовлетворяет условиям
$u_1=1$ и $u_n=\dfrac{1}{u_1+ \dots +u_{n-1}}$ при $n>1$. Докажите, что существует такое натуральное $N$, что $u_1+u_2+ \dots +u_N>2013$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB=BC$ и $\angle BCD=\angle EAB=90^\circ$. Внутри пятиугольника взята такая точка $X$, что $AX\perp BE$ и $CX\perp BD$. Докажите, что $BX\perp DE$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)