Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Решите систему уравнений $\sqrt x-\dfrac{1}{y}=\sqrt y-\dfrac{1}{z}=\sqrt z-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}$ в вещественных числах.

Комментарий/решение

Ответ: $(x,y,z)=(4,4,4).$

Очевидно, что $x,y,z>0\implies \exists a,b,c>0,$ что $a^2=x,b^2=y,c^2=z.$ Тогда

$$a-2=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-b)(2+b)}{(2b)^2},$$

$$b-2=\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-c)(2+c)}{(2c)^2},$$

$$c-2=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-a)(2+a)}{(2a)^2}.$$

Пусть $X=(a-2)(b-2)(c-2),$ тогда $X=-X\cdot Y,$ где $Y>0.$ Поэтому $X=0\implies 0\in\{a-2,b-2,c-2\},$ откуда $(a,b,c)=(2,2,2).$