Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.  $q_{1}^{4}+q_{2}^{4}+q_{3}^{4}+q_{4}^{4}+q_{5}^{4}$ санын екі тізбектес жұп натурал сандардың көбейтіндісіне тең болатындай барлық жай сандардың $\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},{{q}_{4}},{{q}_{5}} \right)$ бестіктерін табыңдар.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасының ішінен $X$ нүктесі алынған. $X$ нүктесі арқылы өтетін $AB$ қабырғасына параллель түзу $CA$ қабырғасын $V$ нүктесінде қиып өтеді, ал $X$ нүктесі арқылы өтетін $AC$ қабырғасына параллель түзу $AB$ қабырғасын $W$ нүктесінде қиып өтеді. $BV$ және $XW$ түзулері $D$ нүктесінде қиылысады, ал $CW$ және $XV$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $\dfrac{1}{DE}=\dfrac{1}{BX}+\dfrac{1}{CX}$ теңдігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңдер: $\sqrt{x}-\dfrac{1}{y}=\sqrt{y}-\dfrac{1}{z}=\sqrt{z}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{4}.$
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Тышқан 27 бірлік кубиктерге бөлінген, қыры 3-ке тең куб пішінді ірімшікті жей бастады. Тышқан бір кубикті жеп бітірген соң, осы кубикпен ортақ қыры бар кубиктердің келесі біреуін жеуге көшеді. Тышқан осы кубтың центрінде орналасқан кубиктен басқа кубиктердің бәрін жеп шыға ала ма?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5.  Нақты сандардың ${{u}_{1}},{{u}_{2}},\ldots $ ақырсыз тізбегі былайша анықталған: ${{u}_{1}}=1$ және $n > 1$ үшін ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}+\ldots +{{u}_{n-1}}}$. Қандай да бір натурал $N$ үшін ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots +{{u}_{N}} > 2013$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышында $AB=BC$ және $\angle BCD=\angle EAB={{90}^{{}^\circ }}$. Бесбұрыштың ішінен $AX \perp BE$ және $CX \perp BD$ болатындай етіп $X$ нүктесі алынған. $BX \perp DE$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---