Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасының ішінен $X$ нүктесі алынған. $X$ нүктесі арқылы өтетін $AB$ қабырғасына параллель түзу $CA$ қабырғасын $V$ нүктесінде қиып өтеді, ал $X$ нүктесі арқылы өтетін $AC$ қабырғасына параллель түзу $AB$ қабырғасын $W$ нүктесінде қиып өтеді. $BV$ және $XW$ түзулері $D$ нүктесінде қиылысады, ал $CW$ және $XV$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $\dfrac{1}{DE}=\dfrac{1}{BX}+\dfrac{1}{CX}$ теңдігін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Треугольники $WED;WCX$ подобны , так же как и $VED;VBX$ . Докажем это , так как $XW;VX$ параллельны соответственно сторонам $AC;AB$ , получаем что нужно доказать соотношение $\frac{EW}{CE} = \frac{WD}{DX}$ , так как $\frac{EW}{CE}=\frac{XW}{CV}$ и $\frac{WD}{XD}=\frac{BW}{XV}$ , тогда как $\frac{CV}{XW}=\frac{CX}{BX}$ из подобия треугольников $\Delta BWX ; BAC$,так же и $\frac{BW}{XV}=\frac{BX}{CX}$ из подобия треугольников $CVX;CAB$ , откуда $\frac{CX}{ED}=\frac{CX}{BX}+1$ , поделив данное условие на $CX$ получаем требуемое