қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2023 год
Есеп №1. $PL \parallel BC,$ $PM \parallel CA,$ $PK \parallel AB$ болатындай $ABC$ үшбұрышының $BC,$ $CA,$ $AB$ қабырғаларынан сәйкесінше $K, L, M$ нүктелері таңдалды, ал үшбұрыштың ішінен $P$ нүктесі таңдалды. $A M P L,$ $BKPM,$ $CLPK$ — үш трапециясы да шеңберге сырттай сызылуы мүмкін бе?
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №2. $ [a, b, c]=\frac{ab+bc+ca}{4} $ болатындай барлық натурал $a, b, c$ табыңыз. Бұл жердегі $[x, y]$ — $x$ және $y$ сандарының ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №3. 2023 шар және натурал $k$ саны берілген. Әр шар белгілі бір өлшемге дейін үрленді (бірдей болу міндетті емес). Әр жүрісте $k$ шардан көп емес шар таңдап және олардың өлшемдерін арифметикалық ортасына теңестіруге болады. Бастапқы өлшемдері қандай болса да, саны шектеулі жүріс жасап барлық шардың өлшемдерін бірдей болдыра алатындай ең кіші $k$ санын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $P(x)=x^{2023}+a x^{2022}+p$ болсын, бұл жерде $a$ — тақ сан және $p$ — жай сан. $P(x)$ көпмүшесін коэффициенттері бүтін болатын екі көпмүшенің көбейтіндісі түрінде жазуға болатыны белгілі. $p$ санын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)