Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2023 год

Есеп №1.

$PL \parallel BC,$

$PM \parallel CA,$

$PK \parallel AB$ болатындай

$ABC$ үшбұрышының

$BC,$

$CA,$

$AB$ қабырғаларынан сәйкесінше

$K, L, M$ нүктелері таңдалды, ал үшбұрыштың ішінен

$P$ нүктесі таңдалды.

$A M P L,$

$BKPM,$

$CLPK$ — үш трапециясы да шеңберге сырттай сызылуы мүмкін бе?
комментарий/решение(9)

Есеп №2.

$[a, b, c]=\frac{ab+bc+ca}{4}$ болатындай барлық натурал

$a, b, c$ табыңыз. Бұл жердегі

$[x, y]$ —

$x$ және

$y$ сандарының ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(9)

Есеп №3. 2023 шар және натурал

$k$ саны берілген. Әр шар белгілі бір өлшемге дейін үрленді (бірдей болу міндетті емес). Әр жүрісте

$k$ шардан көп емес шар таңдап және олардың өлшемдерін арифметикалық ортасына теңестіруге болады. Бастапқы өлшемдері қандай болса да, саны шектеулі жүріс жасап барлық шардың өлшемдерін бірдей болдыра алатындай ең кіші

$k$ санын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №4.

$P(x)=x^{2023}+a x^{2022}+p$ болсын, бұл жерде

$a$ — тақ сан және

$p$ — жай сан.

$P(x)$ көпмүшесін коэффициенттері бүтін болатын екі көпмүшенің көбейтіндісі түрінде жазуға болатыны белгілі.

$p$ санын табыңыз.
комментарий/решение(1)