Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2023 год

Задача №1. На сторонах

$BC,$

$CA,$

$AB$ треугольника

$ABC$ выбраны соответственно точки

$K,L,M$ , а внутри треугольника выбрана точка

$P$ так, что

$PL \parallel BC,$

$PM \parallel CA,$

$PK \parallel AB$ . Может ли оказаться, что все три трапеции

$AMPL,$

$BKPM$ ,

$CLPK$ — описанные?
комментарий/решение(9)

Задача №2. Найти все натуральные

$a, b, c$ такие, что

$[a, b, c]=\dfrac{a b+b c+c a}{4}.$ Здесь

$[x, y]$ — наименьшее общее кратное чисел

$x$ и

$y$ .
комментарий/решение(9)

Задача №3. Даны 2023 шара и натуральное число

$k$ . Каждый воздушный шар был надут до определенного размера (не обязательно одинакового). На каждом шаге можно выбрать не более

$k$ шариков и приравнять их размеры к среднему арифметическому. Определите наименьшее значение

$k$ , при котором, какими бы ни были начальные размеры, можно сделать все шарики одинакового размера за конечное число шагов.
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$P(x)=x^{2023}+a x^{2022}+p$ , где

$a$ — нечетное число и

$p$ — простое. Оказалось, что

$P(x)$ можно представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами. Найдите

$p$ .
комментарий/решение(1)