Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2023 год

Задача №1. На сторонах $BC,$ $CA,$ $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $K,L,M$, а внутри треугольника выбрана точка $P$ так, что $PL \parallel BC,$ $PM \parallel CA,$ $PK \parallel AB$. Может ли оказаться, что все три трапеции $AMPL,$ $BKPM$, $CLPK$ — описанные?
комментарий/решение(9)

---

Задача №2.  Найти все натуральные $a, b, c$ такие, что $[a, b, c]=\dfrac{a b+b c+c a}{4}.$ Здесь $[x, y]$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.
комментарий/решение(9)

---

Задача №3. Даны 2023 шара и натуральное число $k$. Каждый воздушный шар был надут до определенного размера (не обязательно одинакового). На каждом шаге можно выбрать не более $k$ шариков и приравнять их размеры к среднему арифметическому. Определите наименьшее значение $k$, при котором, какими бы ни были начальные размеры, можно сделать все шарики одинакового размера за конечное число шагов.
комментарий/решение

---

Задача №4. Пусть $P(x)=x^{2023}+a x^{2022}+p$, где $a$ — нечетное число и $p$ — простое. Оказалось, что $P(x)$ можно представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами. Найдите $p$.
комментарий/решение(1)

---