қазақша
русский8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы
Задача №1. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$. Точка $H$ — его ортоцентр. Точка $E$ — середина стороны $AC$, точка $D$ на стороне $BC$ такова, что $3CD=BC$. Докажите, что $BE\perp HD$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ нашлись такие точки $E$ и $F$ соответственно, что $\angle EDC = \angle FBC$ и $\angle ECD = \angle FAD$. Докажите, что ${AB \geqslant 2BC}$.
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №3. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $AB = BC$, а углы $ABD$ и $BCD$ равны $90^{\circ}$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. На стороне $AD$ выбрана точка $F$ так, что $ \frac{AF}{FD} = \frac{CE}{EA}$. Окружность $\omega$ с диаметром $DF$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника $ABF$, в точке $K$. Точка $L$ — вторая точка пересечения $\omega$ и прямой $EF$. Докажите, что прямая $KL$ проходит через середину отрезка $CE$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Около остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ описана окружность $\Gamma$, а в него вписана окружность с центром в точке $I$. Прямая $AI$ вторично пересекает $\Gamma$ в точке $M$. Точка $N$ — середина стороны $BC$, точка $T$ на $\Gamma$ такова, что $IN \perp MT$. Прямые $TB$ и $TC$ пересекаются с прямой, проходящей через $I$ перпендикулярно $AI$, в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PB = CQ$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. На стороне $CD$ фиксированного выпуклого пятиугольника $ABCDE$ выбирается переменная точка $X$. Точки $K$ и $L$ на отрезке $AX$ таковы, что $AB=BK$ и $AE=EL$. Окружности, описанные около треугольников $CXK$ и $DXL$, вторично пересекаются в точке $Y$. Докажите, что все прямые $XY$, полученные при различных положениях точки $X$, либо проходят через фиксированную точку, либо параллельны друг другу.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)