8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$AB=AC$ .

$H$ нүктесі

$\triangle ABC$ -ның биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

$E$ нүктесі

$AC$ -ның ортасы, ал

$D$ нүктесі

$BC$ қабырғасында

$3CD=BC$ болатындай орналасқан нүкте.

$BE\perp HD$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABCD$ параллелограмының

$AB$ ,

$CD$ қабырғаларынан сәйкесінше

$E$ ,

$F$ нүктелері

$\angle EDC = \angle FBC$ және

$\angle ECD = \angle FAD$ болатындай алынған.

$AB \geq 2BC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(9)

Есеп №3. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$AB = BC$ ,

$\angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ}$ . Төртбұрыштың

$AC$ және

$BD$ диагоналдары

$E$ нүктесінде қиылысады.

$F$ нүктесі

$AD$ қабырғасында

$\frac{AF}{FD} = \frac{CE}{EA}$ болатындай алынған. Диаметрі

$DF$ болатын

$\omega$ шеңбері

$ABF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбермен екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$EF$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$L$ нүктесінде қияды.

$KL$ түзуі

$CE$ -ның ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы теңбүйірлі емес.

$I$ нүктесі осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі, ал

$\Gamma$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$AI$ түзуі

$\Gamma$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қияды.

$N$ нүктесі

$BC$ -ның ортасы, ал

$T$ нүктесі

$\Gamma$ бойында жатқан және

$IN \perp MT$ болатындай орналасқан нүкте.

$AI$ түзуіне

$I$ нүктесінде тұрғызылған перпендикуляр түзу

$TB$ және

$TC$ түзулерін сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$PB=CQ$ екенін дәлелелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Дөңес

$ABCDE$ бесбұрышының

$CD$ қабырғасынан кез келген

$X$ нүктесі алынған.

$K$ ,

$L$ нүктелері

$AX$ кесіндісінде

$AB=BK$ және

$AE=EL$ болатындай орналасқан,

$CXK$ және

$DXL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$Y$ нүктесінде қиылысады.

$X$ нүктесінің

$CD$ қабырғасының қай жерінен алынғанына қарамастан, осылай анықталған барлық

$XY$ түзулері бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін, немесе барлығы бір-біріне параллель болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)