Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы


ABC үшбұрышында AB=AC. H нүктесі ABC-ның биіктіктерінің қиылысу нүктесі. E нүктесі AC-ның ортасы, ал D нүктесі BC қабырғасында 3CD=BC болатындай орналасқан нүкте. BEHD екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   9
2 года 5 месяца назад #

Пусть AHBC=K и HDBE=T

Так как ABC равнобедренный треугольник BK=CK из условии CD=2KD

Возьмём точку S на BK что KD=KS значит BS=2SK

Псть BEAK=M так как M пересечение медиан AM=2MK

AMMK=BSSK по фалесу ABMS

BAH=BCH так как AH и BH высоты и BCH=SBH так как KH серпер

BAH=SMH так как ABMS SMH=SBHBSHM вписанный значит BMH=180BSH=HSD

Так как HK серпер HSD=HDS значит BMH=HDS

MTCD вписанный значит MKD=MTD=90 что и требовалось доказать

  1
8 месяца 21 дней назад #

Рассмотрим декартову систему координат с центром в середине B и осями oX,oY в BC и оси симметрии треугольника.

Ay=2a,Bx=6p,Cx=6p,Dx=p,Hy=n,E(a,3p),

BHAC2an36p2=0,n=18p2a,

18p2aa9p2p=0BEHD.

пред. Правка 3   1
18 дней 1 часов назад #

Пусть F точка пересечения медиан треугольник ABC; BC=BD+CDBD=2CDBFFE=CDBD=12FDACBCA=BDF

Пусть X такая точка, лежит на прямой AH, и ABXC вписанный BAC=BXA=BXF=BDFBFDX вписанный. Так как H ортоцентр H и X симметричный отнасительно BC. Значить H ортоцентр в треугольнике BFD