8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$. Точка $H$ — его ортоцентр. Точка $E$ — середина стороны $AC$, точка $D$ на стороне $BC$ такова, что $3CD=BC$. Докажите, что $BE\perp HD$.

Комментарий/решение

Пусть $AH \cap BC=K$ и $HD \cap BE=T$

Так как $ABC$ равнобедренный треугольник $BK=CK$ из условии $CD=2KD$

Возьмём точку $S$ на $BK$ что $KD=KS$ значит $BS=2SK$

Псть $BE \cap AK=M$ так как $M$ пересечение медиан $\Rightarrow AM=2MK$

$\frac{AM}{MK}=\frac{BS}{SK}$ по фалесу $AB \parallel MS$

$\angle BAH=\angle BCH$ так как $AH$ и $BH$ высоты и $\angle BCH=\angle SBH$ так как $KH$ серпер

$\angle BAH=\angle SMH$ так как $AB \parallel MS$ $\Rightarrow \angle SMH=\angle SBH \Rightarrow BSHM$ вписанный значит $\angle BMH=180-\angle BSH=\angle HSD$

Так как $HK$ серпер $\angle HSD=\angle HDS$ значит $\angle BMH=\angle HDS \Rightarrow$

$MTCD$ вписанный значит $\angle MKD=\angle MTD=90$ что и требовалось доказать

Рассмотрим декартову систему координат с центром в середине $B$ и осями $oX,oY$ в $BC$ и оси симметрии треугольника.

$$A_y=2a,B_x=-6p,C_x=6p,D_x=p,H_y=n,E(a,3p),$$

$$BH\bot AC\Leftrightarrow 2an-36p^2=0, n=\frac{18p^2}{a},$$

$$\frac{18p^2}{a}\cdot a-9p \cdot 2p=0 \Leftrightarrow BE\bot HD.$$