8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы
ABC үшбұрышында AB=AC. H нүктесі △ABC-ның биіктіктерінің қиылысу нүктесі. E нүктесі AC-ның ортасы, ал D нүктесі BC қабырғасында 3CD=BC болатындай орналасқан нүкте. BE⊥HD екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть AH∩BC=K и HD∩BE=T
Так как ABC равнобедренный треугольник BK=CK из условии CD=2KD
Возьмём точку S на BK что KD=KS значит BS=2SK
Псть BE∩AK=M так как M пересечение медиан ⇒AM=2MK
AMMK=BSSK по фалесу AB∥MS
∠BAH=∠BCH так как AH и BH высоты и ∠BCH=∠SBH так как KH серпер
∠BAH=∠SMH так как AB∥MS ⇒∠SMH=∠SBH⇒BSHM вписанный значит ∠BMH=180−∠BSH=∠HSD
Так как HK серпер ∠HSD=∠HDS значит ∠BMH=∠HDS⇒
MTCD вписанный значит ∠MKD=∠MTD=90 что и требовалось доказать
Пусть F точка пересечения медиан треугольник ABC; BC=BD+CD→BD=2CD⟹BFFE=CDBD=12→FD∥AC→∠BCA=∠BDF
Пусть X такая точка, лежит на прямой AH, и ABXC вписанный →∠BAC=∠BXA=∠BXF=∠BDF⟹BFDX вписанный. Так как H ортоцентр H и X симметричный отнасительно BC. Значить H ортоцентр в треугольнике BFD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.