8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача №1. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$AB = AC$ . Точка

$H$ — его ортоцентр. Точка

$E$ — середина стороны

$AC$ , точка

$D$ на стороне

$BC$ такова, что

$3CD=BC$ . Докажите, что

$BE\perp HD$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. На сторонах

$AB$ и

$CD$ параллелограмма

$ABCD$ нашлись такие точки

$E$ и

$F$ соответственно, что

$\angle EDC = \angle FBC$ и

$\angle ECD = \angle FAD$ . Докажите, что

${AB \geqslant 2BC}$ .
комментарий/решение(9)

Задача №3. Выпуклый четырёхугольник

$ABCD$ таков, что

$AB = BC$ , а углы

$ABD$ и

$BCD$ равны

$90^{\circ}$ . Диагонали

$AC$ и

$BD$ пересекаются в точке

$E$ . На стороне

$AD$ выбрана точка

$F$ так, что

$\frac{AF}{FD} = \frac{CE}{EA}$ . Окружность

$\omega$ с диаметром

$DF$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника

$ABF$ , в точке

$K$ . Точка

$L$ — вторая точка пересечения

$\omega$ и прямой

$EF$ . Докажите, что прямая

$KL$ проходит через середину отрезка

$CE$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Около остроугольного неравнобедренного треугольника

$ABC$ описана окружность

$\Gamma$ , а в него вписана окружность с центром в точке

$I$ . Прямая

$AI$ вторично пересекает

$\Gamma$ в точке

$M$ . Точка

$N$ — середина стороны

$BC$ , точка

$T$ на

$\Gamma$ такова, что

$IN \perp MT$ . Прямые

$TB$ и

$TC$ пересекаются с прямой, проходящей через

$I$ перпендикулярно

$AI$ , в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Докажите, что

$PB = CQ$ .
комментарий/решение(3)

Задача №5. На стороне

$CD$ фиксированного выпуклого пятиугольника

$ABCDE$ выбирается переменная точка

$X$ . Точки

$K$ и

$L$ на отрезке

$AX$ таковы, что

$AB=BK$ и

$AE=EL$ . Окружности, описанные около треугольников

$CXK$ и

$DXL$ , вторично пересекаются в точке

$Y$ . Докажите, что все прямые

$XY$ , полученные при различных положениях точки

$X$ , либо проходят через фиксированную точку, либо параллельны друг другу.
комментарий/решение(1)