Processing math: 14%

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы


На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD нашлись такие точки E и F соответственно, что EDC=FBC и ECD=FAD. Докажите, что AB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
2 года 4 месяца назад #

Сразу заметим равность \angle EDC, \angle FAD, \angle DEA

Также заметим равность \angle ECD, \angle ECB, \angle CEB, \angle AFD, \angle FAD, \angle FAB по счету углов

Также по счету углов заметим что AF \| CE

Заметим что \triangle ADF и \triangle CBE равнобедренны и равны

Продолжим стороны BC и DE точау их пересечения назовем K

Дальше узнаем что DFBK вписанный и дальше по степени точки выходит что FC \ge BC а значит FC \ge DF что дает нам то что DC \ge 2BC когда DC=AB

Выходит что AB \ge 2BC

  5
2 года 4 месяца назад #

Почему \angle EDC равен \angle FAD? и почему \angle ECD=\angle ECB?

  4
2 года 4 месяца назад #

Это можно легко заметить если продлить прямые

пред. Правка 2   6
2 года 4 месяца назад #

  5
2 года 4 месяца назад #

  5
2 года 4 месяца назад #

В решении опечатка равные улгы это \angle EDC и \angle FAB

  5
2 года 4 месяца назад #

\angle ECD равен \angle ECB по банальному счету углов

  0
6 месяца 15 дней назад #

AF||CE это неверно

  2
6 месяца 15 дней назад #

\angle FAC=\angle EBC, \angle EDA=\angle FBA=>> ADE~FBC, ADF~BCE=>> \frac{AE}{BC}=\frac{AD}{CF} и \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{DF} делим одно от другого и выходит \frac{AE}{BE}=\frac{DF}{CF}=>> AD||EF||BC=>> AEF~EBC=>>\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{EB}=>>AE*EB=BC^2 по AM \geq GM =>>2\sqrt {AE*EB}=2\sqrt BC^2 \leq AE+EB=AB