8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

$ABCD$ параллелограмының $AB$, $CD$ қабырғаларынан сәйкесінше $E$, $F$ нүктелері $\angle EDC = \angle FBC$ және $\angle ECD = \angle FAD$ болатындай алынған. $AB \geq 2BC$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Сразу заметим равность $\angle EDC$, $\angle FAD$, $\angle DEA$

Также заметим равность $\angle ECD$, $\angle ECB$, $\angle CEB$, $\angle AFD$, $\angle FAD$, $\angle FAB$ по счету углов

Также по счету углов заметим что $AF \| CE$

Заметим что $\triangle ADF$ и $\triangle CBE$ равнобедренны и равны

Продолжим стороны $BC$ и $DE$ точау их пересечения назовем K

Дальше узнаем что $DFBK$ вписанный и дальше по степени точки выходит что $FC \ge BC$ а значит $FC \ge DF$ что дает нам то что $DC \ge 2BC$ когда $DC=AB$

Выходит что $AB \ge 2BC$

Почему $\angle EDC$ равен $\angle FAD$? и почему $\angle ECD=\angle ECB$?

Это можно легко заметить если продлить прямые

В решении опечатка равные улгы это $\angle EDC$ и $\angle FAB$

$\angle ECD$ равен $\angle ECB$ по банальному счету углов

$AF||CE$ это неверно

$\angle FAC=\angle EBC, \angle EDA=\angle FBA$=>> $ADE~FBC, ADF~BCE$=>> $\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{CF}$ и $\frac{BE}{AD}=\frac{BC}{DF}$ делим одно от другого и выходит $\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{CF}$=>> $AD||EF||BC$=>> $AEF~EBC$=>>$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{EB}$=>>$AE*EB=BC^2$ по $AM \geq GM$ =>>$2\sqrt {AE*EB}=2\sqrt BC^2 \leq AE+EB=AB$