8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

На стороне $CD$ фиксированного выпуклого пятиугольника $ABCDE$ выбирается переменная точка $X$. Точки $K$ и $L$ на отрезке $AX$ таковы, что $AB=BK$ и $AE=EL$. Окружности, описанные около треугольников $CXK$ и $DXL$, вторично пересекаются в точке $Y$. Докажите, что все прямые $XY$, полученные при различных положениях точки $X$, либо проходят через фиксированную точку, либо параллельны друг другу.

Комментарий/решение

Пусть $l$ прямая на которой лежат точки $C,D$ пусть $T,G$ точки произвольные точки вне $l$, пусть $X$ произвольная точка на $l$, опишем окружности $\omega_{1}, \omega_{2}$ около треугольников $TDX,CGX$ пусть они пересекаются в $Y$ тогда, при передвижений точки $X$ по $l$ получается $\angle TYX, \ \angle CYG$ постоянны $(1)$, опишем окружность $\omega_{3}$ около $TYG$, пусть $H \in \omega \cap XY$ тогда учитывая $(1)$ все такие прямые $XY$ пересекаются в $H$.

Пусть $A$ произвольная точка вне $l$ пусть $I \in AH \cap l$, $ F \in \omega_{3} \cap AH$ и $L \in AX \cap \omega_{1}, \ K \in AX \cap \omega_{2}$ тогда $\angle TLX = \angle TYX = \angle TYH = \angle TFH$ то есть $TLFA$ вписанный, аналогично $AKFG$, пусть $E,B$ центры окружностей $AFLT, AKFG$ получается $ABCDE$ фиксированный пятиугольник, где $AB=BK, \ AE=EL$(как радиусы) откуда $H$ и есть фиксированная точка.