Processing math: 100%

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы


Дөңес ABCDE бесбұрышының CD қабырғасынан кез келген X нүктесі алынған. K, L нүктелері AX кесіндісінде AB=BK және AE=EL болатындай орналасқан, CXK және DXL үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет Y нүктесінде қиылысады. X нүктесінің CD қабырғасының қай жерінен алынғанына қарамастан, осылай анықталған барлық XY түзулері бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін, немесе барлығы бір-біріне параллель болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
1 года 8 месяца назад #

Пусть l прямая на которой лежат точки C,D пусть T,G точки произвольные точки вне l, пусть X произвольная точка на l, опишем окружности ω1,ω2 около треугольников TDX,CGX пусть они пересекаются в Y тогда, при передвижений точки X по l получается TYX, CYG постоянны (1), опишем окружность ω3 около TYG, пусть HωXY тогда учитывая (1) все такие прямые XY пересекаются в H.

Пусть A произвольная точка вне l пусть IAHl, Fω3AH и LAXω1, KAXω2 тогда TLX=TYX=TYH=TFH то есть TLFA вписанный, аналогично AKFG, пусть E,B центры окружностей AFLT,AKFG получается ABCDE фиксированный пятиугольник, где AB=BK, AE=EL(как радиусы) откуда H и есть фиксированная точка.