8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы
Дөңес ABCDE бесбұрышының CD қабырғасынан кез келген X нүктесі алынған. K, L нүктелері AX кесіндісінде AB=BK және AE=EL болатындай орналасқан, CXK және DXL үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет Y нүктесінде қиылысады. X нүктесінің CD қабырғасының қай жерінен алынғанына қарамастан, осылай анықталған барлық XY түзулері бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін, немесе барлығы бір-біріне параллель болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть l прямая на которой лежат точки C,D пусть T,G точки произвольные точки вне l, пусть X произвольная точка на l, опишем окружности ω1,ω2 около треугольников TDX,CGX пусть они пересекаются в Y тогда, при передвижений точки X по l получается ∠TYX, ∠CYG постоянны (1), опишем окружность ω3 около TYG, пусть H∈ω∩XY тогда учитывая (1) все такие прямые XY пересекаются в H.
Пусть A произвольная точка вне l пусть I∈AH∩l, F∈ω3∩AH и L∈AX∩ω1, K∈AX∩ω2 тогда ∠TLX=∠TYX=∠TYH=∠TFH то есть TLFA вписанный, аналогично AKFG, пусть E,B центры окружностей AFLT,AKFG получается ABCDE фиксированный пятиугольник, где AB=BK, AE=EL(как радиусы) откуда H и есть фиксированная точка.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.