1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Дистанциялық олимпиадалар
  4. Геометриядан Иран олимпиадасы
  5. 7-я олимпиада, 2020 год
  6. Первая лига, 7-8 классы

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы


Есеп №1.  Көпбұрышты қағазды бүгу деп осы қағазда кесіндіні жүргізіп, содан кейін қағазды сол кесінді бойымен бүктеуді айтамыз. Келесі сурет салынған қағазды қарастырайық. Қағазды боялған аймақтың шекарасы бойымен (көпбұрыш пішіні пайда болатындай) кесіп алайық.
    Осы боялған көпбұрыштан бастаңыз да 5-тен көп емес бүгу операциясы арқылы пішіні тіктөртбұрыш болатын қағаз алыңыз. Есепті әр операция сайын бүгу сызықтарын көрсете отырып, және қандай фигура шыққанын көрсете отырып шешіңіз.
    (Бүгу сызықтары тор сызықтарымен беттесуі міндетті емес.)


комментарий/решение
Есеп №2. $ABCD$ параллелограмында $AB\neq BC$. $AC$ түзуі $EAD$ және $BAG$ бұрыштарының биссектрисасы болатындай $CD$ түзуінің бойынан $E$ және $G$ нүктелері алынған. $BC$ түзуі $AE$ және $AG$ түзулерін сәйкесінше $F$ және $H$ нүктелерінде қияды. $FG$ түзуі $HE$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Келесі суретте қабырғалары $a, b, c$ болатын үш теңқабырғалы үшбұрыштардың тек бір ғана ортақ төбесі бар. $x$, $y$ және $z$ кесінділері суретте көрсетілген. $3(x+y+z) > 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіз.


комментарий/решение(11)
Есеп №4. $P$ нүктесі $\triangle ABC$ ішіндегі кез-келген нүкте. $BP$ мен $CP$ түзулері $AC$ мен $AB$ түзулерін сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $K$ және $L$ — сәйкесінше $BF$ және $CE$ кесінділерінің орталары. $BC$ түзуінің бойынан $LS \parallel CF$ және $KT \parallel BE$ болатындай $S$ және $T$ нүктелері алынған. $M$ және $N$ нүктелері $S$ және $T$ нүктелеріне сәйкесінше $L$ және $K$ нүктелеріне қарағандағы симметриялы нүктелер. $P$ нүктесінің таңдауына қарамастан, барлық $MN$ түзулері қандай-да бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Қарапайым көпбұрыштың екі төбесі бір-бірінен көрінеді делік, егер келесі шарттар орындалса: осы екі төбе көрші болса немесе оларды қосатын кесінді толығымен көпбұрыштың ішінде жатса (шекарада жатқан екі ұшын қоспағанда). Келесі шарт орындалатындай барлық натурал $n$ сандарын табыңыз: төбелер саны $n$-ге тең және кез-келген төбе басқа дәл төрт төбеден көрінетін қарапайым көпбұрыш табылады.
    (Қарапайым көпбұрыш дегеніміз — өзін-өзі қимайтын, кемтігі жоқ көпбұрыш.)
комментарий/решение