7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы

Дан параллелограмм $ABCD$ ($AB\neq BC$). Точки $E$ и $G$ на прямой $CD$ таковы, что $AC$ является биссектрисой каждого из углов $EAD$ и $BAG$. Прямая $BC$ пересекает $AE$ и $AG$ в точках $F$ и $H$ соответственно. Докажите, что прямая $FG$ проходит через середину отрезка $HE$.

Комментарий/решение

$\angle FAC=\angle DAC=\angle CAF$,$\angle CAG=\angle CAB=\angle ACG \Rightarrow AG=GC,\angle GAD= \angle FAB$ Следовательно, $AFCG$ - $KiTe$, а $GF $ делится пополам $AC $.$AF=FC$ заметим что $\angle HAF=\angle FCE$,$FC=AF$,$\angle HFA=\angle EFC$ поэтому $HF=FE$$\Rightarrow$т.к. $\angle AFG=\angle GFC$$\Rightarrow$$\angle HFD= \angle DFE $ а т.к. это равнобердреный треуг то $DF$ это и медиана