7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы

$ABCD$ параллелограмында $AB\neq BC$. $AC$ түзуі $EAD$ және $BAG$ бұрыштарының биссектрисасы болатындай $CD$ түзуінің бойынан $E$ және $G$ нүктелері алынған. $BC$ түзуі $AE$ және $AG$ түзулерін сәйкесінше $F$ және $H$ нүктелерінде қияды. $FG$ түзуі $HE$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$\angle FAC=\angle DAC=\angle CAF$,$\angle CAG=\angle CAB=\angle ACG \Rightarrow AG=GC,\angle GAD= \angle FAB$ Следовательно, $AFCG$ - $KiTe$, а $GF $ делится пополам $AC $.$AF=FC$ заметим что $\angle HAF=\angle FCE$,$FC=AF$,$\angle HFA=\angle EFC$ поэтому $HF=FE$$\Rightarrow$т.к. $\angle AFG=\angle GFC$$\Rightarrow$$\angle HFD= \angle DFE $ а т.к. это равнобердреный треуг то $DF$ это и медиана