7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы

Три равносторонних треугольника с длинами сторон $a$, $b$, $c$, расположенные, как показано на рисунке, имеют общую вершину и не имеют других общих точек. Определим длины $x$, $y$, $z$, как показано на рисунке. Докажите, что $3(x+y+z) > 2(a+b+c).$

Комментарий/решение

По неравенству треугольников y>|a-c|

x>|b-c| z>|a-b|

3(x+y+z)>2(a+b+c)#

Пусть $KLDNEF$ данный шестиугольник и $O$ точка соприкосновения трех треугольников , пусть $DN=b$ сторона с большей стороной из треугольников.

по положению $DL=x, \ KF=y, NE=z, \ EF=a, \ DN=b, \ LK=c$ проведем через точку $O$ отрезок $D'N'$ где $D'O=ON'=DN$ тогда треугольники $DOL, D'OK$ равны, аналогично $ONE, ON'F$

тогда по неравенству треугольников $D'K+KF>D'F, \ D'F+FN'>2D'O$ или $D'K+KF+FN'>2D'O$ или $x+y+z>2b$ но так как $2b>2a, \ 2b>2c$ то есть $x+y+z>2a, \ x+y+z>2c$ складывая получаем $3(x+y+z)>2(a+b+c)$

Допустим, шестиугольник $ABCDEF$ с общей точкой $O$,так что $AB=x;BC=b,CD=z$ и т.д.Тогда,можно сделать такой четырехугольник что основание $=2b$,а стороны -$x,y,z;$ внутренние линии-$c,a$.Тогда по неравенству(сумма 3ех сторон больше 4ой) $x+y+z>2b$.Строим такой же четырехугольник чтобы основание было $2с$.Тогда $x+y+z>2c$.Аналогично $x+y+z>2a$.

Над вами на 2 недели раньше стоит решение.

И вы мне говорите что я копирую?

У меня вообще то другая идея в этой задаче

Уважаемый KanatulyNuras вы копируете такие олимпиады как районка или дистан Эйлера и осуждаете человека который решил вопще по другому??? Где ваша логика

Я дистанку эйлера решал макс 1-2 раз и районку не копировал

А регионалку?

Да, я признаю регионалку копировал

Да у него рещение вообще другое

Абан тасы