Processing math: 100%

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы


Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка P. Прямые BP и CP пересекают AC и AB в точках E и F соответственно. Точки K и L --- середины отрезков BF и CE соответственно. Прямые, проходящие через L и K параллельно CF и BE, пересекают BC в точках S и T соответственно. Обозначим через M и N точки, симметричные S и T относительно точек L и K соответственно. Докажите, что прямая MN проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5
1 года 3 месяца назад #

Обратите внимание, что MESC — параллелограмм. Итак, ME||BC. Пусть D — середина BC и J=MECP. Точка M — середина JE, поскольку MLJC и L — середина EC. Обратите внимание, что трапеции JBCE и D,M — это середины JE,BC соответственно, а P — пересечение диагонали. Следовательно, D,P,M коллинеарны.

Аналогично D,P,N коллинеарны. Итак, D — это искомая фиксированная точка.