7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы
Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка P. Прямые BP и CP пересекают AC и AB в точках E и F соответственно. Точки K и L --- середины отрезков BF и CE соответственно. Прямые, проходящие через L и K параллельно CF и BE, пересекают BC в точках S и T соответственно. Обозначим через M и N точки, симметричные S и T относительно точек L и K соответственно. Докажите, что прямая MN проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Обратите внимание, что MESC — параллелограмм. Итак, ME||BC. Пусть D — середина BC и J=ME∩CP. Точка M — середина JE, поскольку ML∥JC и L — середина EC. Обратите внимание, что трапеции JBCE и D,M — это середины JE,BC соответственно, а P — пересечение диагонали. Следовательно, D,P,M коллинеарны.
Аналогично D,P,N коллинеарны. Итак, D — это искомая фиксированная точка.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.