7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы

Внутри треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $P$. Прямые $BP$ и $CP$ пересекают $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точки $K$ и $L$ --- середины отрезков $BF$ и $CE$ соответственно. Прямые, проходящие через $L$ и $K$ параллельно $CF$ и $BE$, пересекают $BC$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Обозначим через $M$ и $N$ точки, симметричные $S$ и $T$ относительно точек $L$ и $K$ соответственно. Докажите, что прямая $MN$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки $P$.

Комментарий/решение

Обратите внимание, что $MESC$ — параллелограмм. Итак, $ME|| BC$. Пусть $D$ — середина $BC$ и $J=ME\cap CP$. Точка $M$ — середина $JE$, поскольку $ML\parallel JC$ и $L$ — середина $EC$. Обратите внимание, что трапеции $JBCE$ и $D,M$ — это середины $JE,BC$ соответственно, а $P$ — пересечение диагонали. Следовательно, $D,P,M$ коллинеарны.

Аналогично $D, P, N$ коллинеарны. Итак, $D$ — это искомая фиксированная точка.