7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, первая лига, 7-8 классы

$P$ нүктесі $\triangle ABC$ ішіндегі кез-келген нүкте. $BP$ мен $CP$ түзулері $AC$ мен $AB$ түзулерін сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $K$ және $L$ — сәйкесінше $BF$ және $CE$ кесінділерінің орталары. $BC$ түзуінің бойынан $LS \parallel CF$ және $KT \parallel BE$ болатындай $S$ және $T$ нүктелері алынған. $M$ және $N$ нүктелері $S$ және $T$ нүктелеріне сәйкесінше $L$ және $K$ нүктелеріне қарағандағы симметриялы нүктелер. $P$ нүктесінің таңдауына қарамастан, барлық $MN$ түзулері қандай-да бір тұрақты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Обратите внимание, что $MESC$ — параллелограмм. Итак, $ME|| BC$. Пусть $D$ — середина $BC$ и $J=ME\cap CP$. Точка $M$ — середина $JE$, поскольку $ML\parallel JC$ и $L$ — середина $EC$. Обратите внимание, что трапеции $JBCE$ и $D,M$ — это середины $JE,BC$ соответственно, а $P$ — пересечение диагонали. Следовательно, $D,P,M$ коллинеарны.

Аналогично $D, P, N$ коллинеарны. Итак, $D$ — это искомая фиксированная точка.