Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Задача №1. Даны две обыкновенные несократимые дроби. У первой сумма числителя и знаменателя равна 1232, а у второй такая сумма равна 7987. Может ли сумма этих двух дробей равна

$\frac{17}{35}$ ?
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$BC = 2AB$ . Точка

$D$ — середина стороны

$BC$ , точка

$K$ — середина отрезка

$BD$ . Докажите, что

$AC = 2AK$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Известно, что

$\overline {a \ldots a}$ кратно

$\overline {b \ldots b}$ . Обязательно ли количество цифр первого числа делится на количество цифр второго?
комментарий/решение(6)

Задача №4. Дана клеточная таблица

$5 \times 5$ , в которой во всех клетках написано число 0. За одну операцию разрешается увеличить на 1 все числа в клетках, которые образуют уголок. Докажите, что за несколько таких операций числа во всех клетках таблицы не смогут стать одинаковыми. Уголком считается фигура, которая получается при удалении из квадрата

$2 \times 2$ одной клетки.
комментарий/решение(3)