Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Известно, что $\overline {a \ldots a}$ кратно $\overline {b \ldots b}$. Обязательно ли количество цифр первого числа делится на количество цифр второго?

Комментарий/решение

Ответ: Да.

Допустим что нет:

Короче, рассмотрим что первое это ашки $k$ раз, а второе это бшки $n$. По факту, если слева делится на право то слева делится на однерки $n$ раз. Давайте репрезентуем ашки:

$\overset{k}{\overbrace{11...1}}*a=\overset{n}{\overbrace{11...1}}*10^{k-n}*a+\overset{k-n}{\overbrace{11...1}}*a$ и это делится на $\overset{n}{\overbrace{11...1}}$, повторим действия пока не получится что $\overset{s}{\overbrace{11...1}}*a$ $(0<s<n)$ будет делиться на $\overset{n}{\overbrace{11...1}}$ что невозможно ибо справа больше.

Кстати, прикольно что матол признал Юниорскую олимпиаду и выложил их на сайт

Не верно.

Самый лучший комментарий! С таким глубоким смыслом, с отрицанием всего бытия, всего сущего, простые два слова - “Не верно.”. А точка поставлена не просто так, не из за сохранения пунктуации, а чтобы подчеркнуть оконченность предложения была поставлена многозначащая точка. Просто великолепно!

Я имел в виду что мое предыдущее решение не верно

ОТВЕТ: ДА, нужно.

Чтобы, число с повторяющейся цифрой, делилось на число состоящие из одной цифры.Нужно, чтобы цифры, из которых состоят эти числа делились на друг друга.

Пример:

8 mod 4 = 0

88:44=2

Но, кол-во цифр в числе должно тоже делиться на друг друга.

Пример:

999999- кол-во цифр в числе 6

333- кор-во цифр в числе 3

6 mod 3 = 0

999999:333=3003