Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.


Дана клеточная таблица 5×5, в которой во всех клетках написано число 0. За одну операцию разрешается увеличить на 1 все числа в клетках, которые образуют уголок. Докажите, что за несколько таких операций числа во всех клетках таблицы не смогут стать одинаковыми. Уголком считается фигура, которая получается при удалении из квадрата 2×2 одной клетки.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
2 года 3 месяца назад #

Докажем от противного, Допустим мы смогли добиться такого.

Расскрасим на 4 цвета a,b,c,d так чтобы в каждом квадрате 2×2 было все цвета как на рисунке внизу.

У нас a-шек 9 штук, b-шек 6 штук, c-шек 6 штук, d-шек 4 штук и у нас a=b=c=d

Заметим что у нас есть операции c [a+b+c], [a+b+d], [a+d+c], [b+d+c]

Пусть операции было m,n,k,i соответственно, тогда сумма всех a-шек m+n+k

то есть 9a=m+n+k Анологично [6b=m+n+i],[6c=m+k+i],[4d=n+k+i]

Так как a=b=c=d [9a=m+n+k],[6a=m+n+i],[6a=m+k+i],[4a=n+k+i]

Легко заметить что n=k Теперь запишем в виде

[9a=m+2n],[6a=m+n+i],[6a=m+n+i],[4a=2n+i]

у нас 2m+4n=29a=36a=3m+3n+3i

n=m+3i

еще у нас 2m+2n+2i=26a=34a=6n+3i

2m=4n+i

подставляем n=m+3i на 2m=4n+i тогда следует что 2m+13i=0

значит m=i=0

6a=m+n+i=n еще 4a=2n+i=2n

6a2=2n=6n=4a3

n=0

Мы нашли что m=n=k=i=0 значит a=b=c=d=0

Следовательно все клетки равны только и тогда когда все равны нулю значит после каких то операции на всех не могут быть одинаковые числы.

  3
2 года 1 месяца назад #

На самом деле, после получения

[9a=m+n+k],[6a=m+n+i],[6a=m+k+i],[4a=n+k+i]

можно было просуммировав последние три равенства понять, что

16a=6a+6a+4a=2(m+n+k)+3i2(m+n+k)=18a

что противоречит тому, что a положительное.

Авторское решение было таким.

  7
1 года 4 месяца назад #

Допустим мы смогли за несколько операций получить, что в каждой клетке написано число k Раскрасим клетки доски следующим образом: в рядах с нечетным номером (нумерация снизу вверх) 12121, а в рядах с четным номером 34343. Тогда клеток 19 штук, 2 и 3 по 6 и клетки цвета 44 штуки. Заметим, что уголок из 3 клеток покрывает либо 1,2,3 либо 1,2,4 либо 1,3,4 либо 2,3,4. Обозначим a, b, c, d как количество уголков каждого вида уголка. Тогда можно понять, что

a + b + c = 9k

a + b + d = 6k

a + c + d = 6k

b + c + d = 4k

Сложив последние три равенства, получаем 16k = 2a + 2b + 2c + 3d ≥ 2(a + b + c) = 18k. Но k положи- тельное, поэтому изначальное предположение неверно.