Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.
Комментарий/решение:
Докажем от противного, Допустим мы смогли добиться такого.
Расскрасим на 4 цвета a,b,c,d так чтобы в каждом квадрате 2×2 было все цвета как на рисунке внизу.
У нас a-шек 9 штук, b-шек 6 штук, c-шек 6 штук, d-шек 4 штук и у нас a=b=c=d
Заметим что у нас есть операции c [a+b+c], [a+b+d], [a+d+c], [b+d+c]
Пусть операции было m,n,k,i соответственно, тогда сумма всех a-шек m+n+k
то есть 9a=m+n+k Анологично [6b=m+n+i],[6c=m+k+i],[4d=n+k+i]
Так как a=b=c=d⇒ [9a=m+n+k],[6a=m+n+i],[6a=m+k+i],[4a=n+k+i]
Легко заметить что n=k Теперь запишем в виде
[9a=m+2n],[6a=m+n+i],[6a=m+n+i],[4a=2n+i]
у нас 2m+4n=2⋅9a=3⋅6a=3m+3n+3i⇒
n=m+3i
еще у нас 2m+2n+2i=2⋅6a=3⋅4a=6n+3i⇒
2m=4n+i
подставляем n=m+3i на 2m=4n+i тогда следует что 2m+13i=0
значит m=i=0
6a=m+n+i=n еще 4a=2n+i=2n
6a⋅2=2n=6n=4a⋅3⇒
n=0
Мы нашли что m=n=k=i=0 значит a=b=c=d=0
Следовательно все клетки равны только и тогда когда все равны нулю значит после каких то операции на всех не могут быть одинаковые числы.
На самом деле, после получения
[9a=m+n+k],[6a=m+n+i],[6a=m+k+i],[4a=n+k+i]
можно было просуммировав последние три равенства понять, что
16a=6a+6a+4a=2(m+n+k)+3i≥2(m+n+k)=18a
что противоречит тому, что a положительное.
Авторское решение было таким.
Допустим мы смогли за несколько операций получить, что в каждой клетке написано число k Раскрасим клетки доски следующим образом: в рядах с нечетным номером (нумерация снизу вверх) 12121, а в рядах с четным номером 34343. Тогда клеток 19 штук, 2 и 3 по 6 и клетки цвета 44 штуки. Заметим, что уголок из 3 клеток покрывает либо 1,2,3 либо 1,2,4 либо 1,3,4 либо 2,3,4. Обозначим a, b, c, d как количество уголков каждого вида уголка. Тогда можно понять, что
a + b + c = 9k
a + b + d = 6k
a + c + d = 6k
b + c + d = 4k
Сложив последние три равенства, получаем 16k = 2a + 2b + 2c + 3d ≥ 2(a + b + c) = 18k. Но k положи- тельное, поэтому изначальное предположение неверно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.