Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Даны две обыкновенные несократимые дроби. У первой сумма числителя и знаменателя равна 1232, а у второй такая сумма равна 7987. Может ли сумма этих двух дробей равна $\frac{17}{35}$?

Комментарий/решение

Стоит заметить что 1232 и 7987 делятся на 7. Скажем первая дробь это a/b а вторая c/d. Сумму можно записать как (аd +bc)/bd , bd делится на 7 значит b либо d делится на 7 откуда например a и с делятся на 7 значит дробь сократима противоречие

Пусть a/b , d/c данные дроби. Очевидно, что если a делится на 7 то и b делится на 7 так как 1232 делятся на 7. Аналогично для второй дроби. Следовательно a,b,c,d не делятся на 7. Но тогда знаменатель суммы дробей не делится на 7, а, значит, не может равнятся 35.

Ответ: Нет

Пусть наши дроби это

$a/b , c/d$

Допустим наши дроби могут в сумме давать $17/35$

Тогда:

$a/b+c/d=17/35$

$17bd=35(ad+bc)$

Заметим, что 1232 и 7987 делятся на 7, а по полученному уравнению либо $b$ либо $d$ делится на 7, но это противоречие, так как дроби будут сократимы.