Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы (мұнда

$\mathbb{R}$ нақты сандар жиынын белгілейді) кез келген нақты

$x$ үшін

$f\left( f\left( x \right) \right)={{x}^{\text{2}}}f\left( x \right)-x+\text{1}$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын болса,

$f(1)$ -ді табыңдар.
комментарий/решение(6)

Есеп №2. Үшбұрыштың әрбір қабырғасынан сол қабырғаны тең

$p$ бөлікке бөлетін

$p-1$ нүкте алынған. Бұл нүктелердің әрқайсысы үшбұрыштың қарсы жатқан төбесімен кесінділермен қосылған. Егер

$p$ -ның жай сан екені белгілі болса, бұл кесінділер, кем дегенде, үшбұрышты қанша бөлікке бөледі?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өлшемі

$2m\times n$ болатын тіктөртбұрыш өлшемі

$2\times 1$ болатын

$mn$ тіктөртбұрыш плиткалармен толық жабылған. Егер тіктөртбұрышты бос емес екі бөлікке бөлетін және плиткалардың ешқайсысының ішкі нүктелері арқылы өтпейтін түзу табылса, бұл жабуды трансверсальды деп атаймыз.
a) Өлшемі

$6\times 6$ болатын тіктөртбұрыштың 18 плиткамен жабуының кез келгені трансверсальды болатынын дәлелдеңдер.
b) Өлшемі

$8\times 8$ болатын тіктөртбұрыштың 32 плиткамен трансверсальды емес жабуы табыла ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Егер коэффициенттері нақты сандар болатын

${{a}_{{0}}}{{x}^{n}}+{{a}_{{1}}}{{x}^{n-{1}}}+\ldots +{{a}_{n}}$ көпмүшелігі коэффициенттері нақты сандар болатын сызықтық екімүшеліктердің көбейтіндісіне жіктелсе, мына теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңдер:

$\left( n-{1} \right)a_{{1}}^{{2}}\ge {2}n{{a}_{{0}}}{{a}_{{2}}}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Тікбұрышты емес

$ABC$ үшбұрышының бұрыштары

$\text{tg}A\cdot \text{tg}B\cdot \text{tg}C=\left[ \text{tg}A \right]+\left[ \text{tg}B \right]+\left[ \text{tg}C \right]$ теңдігін қанағаттандыратын болса, осы үшбұрыштың ең кіші бұрышын табыңдар. Мұнда арқылы

$x$ санының бүтін бөлігі, яғни

$x$ -тан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.
комментарий/решение(10)

Есеп №6. Келесі шарттарды қанағаттандыратын

$n$ натурал саны және жай

${{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},p$ сандары берілген:

$n < 11$ ,

${{p}_{1}}+p_{3}^{n}$ --- жай сан,

${{p}_{2}}+{{p}_{3}}=p_{1}^{n}\left( {{p}_{1}}+{{p}_{3}} \right)$ ,

${{p}_{1}}+{{p}_{2}}=3p$ және

${{p}_{2}} > 9$ . Олай болса,

${{p}_{1}}\left( {{p}_{2}}p_{3}^{n}+p_{1}^{{{p}_{1}}}+n \right)$ өрнегінің мәнін табыңдар.
комментарий/решение(5)