Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Ответ :45∘
Решение : Легко видеть, что 1∗2∗3=[1]+[2]+[3] . Отсюда следует, что если найдутся такие углы A,B,C, что A+B+C=180[1] и tgA=1;tgB=2;tgC=3, то условие задачи выполняется и наименьший угол будет равен arctg1=45∘. Построим треугольник
Имеем tgC=1+121−1∗12=3 . Отсюда следует верность утверждения [1] и правильность решения задачи
Найдено еще несколько решений
∠A=45∘;∠B=22,5∘;∠C=112,5∘;-точное решение
Решения с точностью до 1⋅10−6
∠A=45∘;∠B=29,316511∘;∠C=105,683489∘;
∠A=45∘;∠B=32,852405∘;∠C=102,147595∘;
∠A=45∘;∠B=35,052045∘;∠C=99,947955∘;
∠A=45∘;∠B=36,562753∘;∠C=98,437247∘;
∠A=45∘;∠B=37,668208∘;∠C=97,331792∘;
Вот нормальное решение:
Ответ:45∘
Заметим что tgA•tgB•tgC=tgA+tgB+tgC. Тогда tgA+tgB+tgC=[tgA]+[tgB]+[tgC], но так как [x]≤x, tgA,tgB,tgC являются целыми. Обозначим их через x,y,z. Тогда достаточно решить уравнение xyz=x+y+z. Это уравнение симметрична, пусть z≤y≤x. Используя что x(yz−1)=y+z, можем найти что при 3≤yz решений нет( так как (3−1)x>y+z), и что при yz≤−1 тоже нет решений (так как z<0<y≤x и y+z=x(yz−1)≤−2x<z<z+y). Дальше мы понимаем что 0≤yz≤2, перебором понимаем что только при (x,y,z)=(3,2,1)и(0,a,−a) имеет решение. Так как тангенс угла треугольника не может быть равным 0, значит что только первая тройка подходит. Значит ответ: arctg(1)=45∘
tgA⋅tgB⋅tgC=tgA+tgB+tgC это тождество, которое выполняется для углов любого треугольника (можете это сами доказать через формулы, либо посмотреть доказательство в интернете), поэтому решение пользователя abensad верно.
Также ваш ответ ∠A=45∘;∠B=22,5∘;∠C=112,5∘; неверен (можно проверить на калькуляторе)
Цитирую Вас:"...tgA,tgB,tgC являются целыми.". Численное решение дало огромное количество корней, при котором tgA,tgB,tgC не являются целыми по отдельности. Тем не менее, эти корни в точности выполняют условие задачи. Мной были получены разнообразные углы в диапазоне от 10 до 60 градусов с точностью до 6 знака
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.