Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


В непрямоугольном треугольнике ABC выполняется соотношение tgAtgBtgC=[tgA]+[tgB]+[tgC]. Найдите величину наименьшего угла треугольника. Здесь [x] — целая часть числа x, то есть наименьшее целое, не превосходящее x.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 9 месяца назад #

Ответ :45

Решение : Легко видеть, что 123=[1]+[2]+[3] . Отсюда следует, что если найдутся такие углы A,B,C, что A+B+C=180[1] и tgA=1;tgB=2;tgC=3, то условие задачи выполняется и наименьший угол будет равен arctg1=45. Построим треугольник

Имеем tgC=1+121112=3 . Отсюда следует верность утверждения [1] и правильность решения задачи

пред. Правка 2   1
4 года 7 месяца назад #

Найдено еще несколько решений

A=45;B=22,5;C=112,5;-точное решение

Решения с точностью до 1106

A=45;B=29,316511;C=105,683489;

A=45;B=32,852405;C=102,147595;

A=45;B=35,052045;C=99,947955;

A=45;B=36,562753;C=98,437247;

A=45;B=37,668208;C=97,331792;

  3
3 года 10 месяца назад #

Я думаю смысла нет в решение этой задачу с помощью приблизительных ответов.

  1
3 года 10 месяца назад #

Я решал это численными методами. Это тоже правильное решение. Невязка не превысила 106.

пред. Правка 2   2
3 года 10 месяца назад #

Вот нормальное решение:

Ответ:45

Заметим что tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC. Тогда tgA+tgB+tgC=[tgA]+[tgB]+[tgC], но так как [x]x, tgA,tgB,tgC являются целыми. Обозначим их через x,y,z. Тогда достаточно решить уравнение xyz=x+y+z. Это уравнение симметрична, пусть zyx. Используя что x(yz1)=y+z, можем найти что при 3yz решений нет( так как (31)x>y+z), и что при yz1 тоже нет решений (так как z<0<yx и y+z=x(yz1)2x<z<z+y). Дальше мы понимаем что 0yz2, перебором понимаем что только при (x,y,z)=(3,2,1)и(0,a,a) имеет решение. Так как тангенс угла треугольника не может быть равным 0, значит что только первая тройка подходит. Значит ответ: arctg(1)=45

  1
3 года 10 месяца назад #

Я не придираюсь, просто интересно, как получен переход от tgAtgBtgC=[tgA]+[tgB]+[tgC] к tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC?

  2
3 года 10 месяца назад #

tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC это тождество, которое выполняется для углов любого треугольника (можете это сами доказать через формулы, либо посмотреть доказательство в интернете), поэтому решение пользователя abensad верно.

Также ваш ответ A=45;B=22,5;C=112,5; неверен (можно проверить на калькуляторе)

  1
3 года 10 месяца назад #

Спасибо за Ваши разъяснения, Abensad, Ereb. 15. По крайней мере, теперь я разобрался с решением данной задачи. Лично для меня тема с этой задачей закрыта.

  1
3 года 10 месяца назад #

Вы правильно делаете, всегда спрашивайте критикуйте, может быть я ошибаюсь. Только с помощью спор и можем сделать этот сайт лучше.

пред. Правка 3   1
3 года 10 месяца назад #

Цитирую Вас:"...tgA,tgB,tgC являются целыми.". Численное решение дало огромное количество корней, при котором tgA,tgB,tgC не являются целыми по отдельности. Тем не менее, эти корни в точности выполняют условие задачи. Мной были получены разнообразные углы в диапазоне от 10 до 60 градусов с точностью до 6 знака