Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Функция

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , где

$\mathbb{R}$ обозначает множество действительных чисел, удовлетворяет при всех действительных

$x$ условию

$f(f(x))={{x}^{2}}f(x)-x+1.$ Найдите

$f(1)$ .
комментарий/решение(6)

Задача №2. На каждой стороне треугольника выбрано по

$p - 1$ точек, делящих сторону на

$p$ равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что

$p$ — простое число?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Полное замощение прямоугольника

$2m\times n$ с помощью

$mn$ прямоугольных плиток

$2\times 1$ называется

$\textit{трансверсальным}$ , если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части и не проходящая через внутренние точки плиток.
а) Докажите, что любое замощение прямоугольника

$6\times 6$ с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б) Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника

$8\times 8$ с помощью 32 плиток?
комментарий/решение(2)

Задача №4. Докажите, что если многочлен

${a_0}{x^n} + a_1 x^{n- 1} + \dots + {a_n}$ с вещественными коэффициентами разлагается в произведение линейных двучленов с вещественными коэффициентами, то выполняется неравенство

$(n-1)a_{1}^{2}\ge 2n{{a}_{0}}{{a}_{2}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. В непрямоугольном треугольнике

$ABC$ выполняется соотношение

${\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} A \cdot {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} B \cdot {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} C=[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} A]+[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} B]+[{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} C].$ Найдите величину наименьшего угла треугольника. Здесь

$[x]$ — целая часть числа

$x$ , то есть наименьшее целое, не превосходящее

$x$ .
комментарий/решение(10)

Задача №6. Пусть

$n$ — натуральное число,

$n < 11$ . Простые числа

$p_1$ ,

$p_2$ ,

$p_3$ ,

$p$ таковы, что

${{p}_{1}}+p_{3}^{n}$ — простое,

${{p}_{1}}+{{p}_{2}}=3p$ ,

${{p}_{2}}+{{p}_{3}}=p_{1}^{n}({{p}_{1}}+{{p}_{3}})$ и

${{p}_{2}}>9$ . Найдите значение выражения

${{p}_{1}}({{p}_{2}}p_{3}^{n}+p_{1}^{{{p}_{1}}}+n)$ .
комментарий/решение(5)