Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

Полное замощение прямоугольника $2m\times n$ с помощью $mn$ прямоугольных плиток $2\times 1$ называется $\textit{трансверсальным}$, если найдется прямая, делящая прямоугольник на две непустые части и не проходящая через внутренние точки плиток.
а) Докажите, что любое замощение прямоугольника $6\times 6$ с помощью 18 плиток является трансверсальным.
б) Найдется ли не трансверсальное замощение прямоугольника $8\times 8$ с помощью 32 плиток?