қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.
Задача №1. Определите все тройки простых чисел $(p, q, r)$ такие, что $p^p + q^q = r.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $T_n$ — сумма первых $n$ натуральных чисел, т.е. $T_n = 1 + 2 + \ldots + n$. Для некоторых натуральных чисел $m$ и $n$ имеет место равенство $2T_m = T_n$. Докажите, что число $T_{2m-n}$ является квадратом натурального числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Все натуральные числа раскрасили в два цвета: белый и черный. Известно, что сумма любых двух различных белых чисел также является белым числом. Кроме того, сумма любых двух черных чисел также является черным числом. Сколько различных раскрасок, удовлетворяющих этому условию, существует?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $T$ так, что $AT$ — биссектриса угла $\angle BAC$. На луче $AT$ отмечена точка $S$ такая, что $AS = CT.$ Докажите, что $AS = CS$ тогда и только тогда, когда $AT = TB.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. У Махмута есть 1000 белых кубиков со стороной 1. Он хочет сложить из них всех какой-нибудь параллелепипед, полностью белый снаружи. Его братишка Мустафа нечаянно покрасил некоторые грани в черный цвет. Какое наименьшее число граней должен был покрасить Мустафа, если известно, что Махмут уже не может сложить желаемый параллелепипед?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)