Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Задача №1. Определите все тройки простых чисел

$(p, q, r)$ такие, что

$p^p + q^q = r.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$T_n$ — сумма первых

$n$ натуральных чисел, т.е.

$T_n = 1 + 2 + \ldots + n$ . Для некоторых натуральных чисел

$m$ и

$n$ имеет место равенство

$2T_m = T_n$ . Докажите, что число

$T_{2m-n}$ является квадратом натурального числа.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Все натуральные числа раскрасили в два цвета: белый и черный. Известно, что сумма любых двух различных белых чисел также является белым числом. Кроме того, сумма любых двух черных чисел также является черным числом. Сколько различных раскрасок, удовлетворяющих этому условию, существует?
комментарий/решение(2)

Задача №4. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$T$ так, что

$AT$ — биссектриса угла

$\angle BAC$ . На луче

$AT$ отмечена точка

$S$ такая, что

$AS = CT.$ Докажите, что

$AS = CS$ тогда и только тогда, когда

$AT = TB.$
комментарий/решение(3)

Задача №5. У Махмута есть 1000 белых кубиков со стороной 1. Он хочет сложить из них всех какой-нибудь параллелепипед, полностью белый снаружи. Его братишка Мустафа нечаянно покрасил некоторые грани в черный цвет. Какое наименьшее число граней должен был покрасить Мустафа, если известно, что Махмут уже не может сложить желаемый параллелепипед?
комментарий/решение(1)