1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Республикалық олимпиада
  4. Республиканская юниорская олимпиада
  5. 2018-2019 у.г.
  6. 7 класс. Заключительный этап

Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.


Есеп №1.  Келесі теңдеу орындалатындай барлық $(p,q,r)$ жай сандар үштіктерін табыңыз: $p^q+q^p=r$.
комментарий/решение(1)
Есеп №2.  $T_n$ — бірінші $n$ натурал сандардың қосындысы ретінде белгілейік, яғни $T_n=1+2+\ldots+n$. Белгілі $m$, $n$ натурал сандар үшін келесі теңдік орындалады: $2T_m=T_n$. $T_{2m-n}$ — натурал санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3.  Бүкіл натурал сандар қара мен ақ түске боялған (әр сан тек бір түспен бояланады). Кез-келген екі тең емес ақ сандардың қосындысы да ақ сан болатыны берілген. Сонымен қатар, кез-келген екі тең емес қара сандардың қосындысы да қара сан болады. Берілген шарт орындалатындай, натурал сандарды бояудың қанша тәсілдері бар?
комментарий/решение(2)
Есеп №4.  $ABC$ үшбұрышы берілген. $BC$ кесіндінің бойында $AT$ — $BAC$ бұрышының биссектрисасы болатындай $T$ нүктесі белгіленген. $AT$ сәулесінің бойында $AS=CT$ орындалатындай $S$ нүктесі берілген. $AS=CS$ болса, $AT=TB$ болатынын дәлелдеңіз, және кері тұжырымды дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
Есеп №5.  Махмутта қабырғасы 1-ге тең 1000 ақ текше бар. Оның мақсаты: осы текшелерден сырты толықтай ақ болатындай етіп, параллепипед құрастыру. Мұстафа атты бауыры байқаусызда текшелердің кейбір жақтарын қара түске бояп тастады. Махмут өзінің мақсатына жете алмайтындай, Мұстафа минимум қанша текшенің жақтарын қара түске бояуы тиіс?
комментарий/решение(1)