Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $T$ так, что $AT$ — биссектриса угла $\angle BAC$. На луче $AT$ отмечена точка $S$ такая, что $AS = CT.$ Докажите, что $AS = CS$ тогда и только тогда, когда $AT = TB.$

Комментарий/решение

Если $AS=CS$ то доказать что $AT=TB$ не составляет труда, это легко сделать по счету углов. Докажем что если $AT=TB$ то $AS=CS$.

Давайте возьмём $AS=a, AT=b$.

Сперва, заметим по теореме биссектрисы что $AB/AC=a+b/a$, теперь выразим $a+b/b=AT/AS$, соответственно $AB/AC=AT/AS$, обратим внимание на рис. $2$.

Можно заметить что эти два треугольника подобны, соответственно $AC=AS$ что и требовалось доказать.

Легенда написал решение на геому

вчера просто на уроке с седьмыми эту задачу решали)