Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

У Махмута есть 1000 белых кубиков со стороной 1. Он хочет сложить из них всех какой-нибудь параллелепипед, полностью белый снаружи. Его братишка Мустафа нечаянно покрасил некоторые грани в черный цвет. Какое наименьшее число граней должен был покрасить Мустафа, если известно, что Махмут уже не может сложить желаемый параллелепипед?

Комментарий/решение

Ответ: 1994

Возьмем стороны как $a, b, c$

Тогда площадь его поверхности это, $2(ab+bc+ac)$

А объем $abc$

В худшем случае значение $2(ab+bc+ac)$ минимально

То есть $a, b, c$ максимально приблеженные

Значит $a = b = c = 10$

Рассмотрим минимальное количество клеток так чтобы его нельзя было бы поставить

Если поставить 2 противоположных то нельзя поставить его в уголок

Берем все внутренние покрашенные этим образом также берем уголок покрашенный таким же образом.

Но тогда можно взять наружний кубик и заменить им уголок

Значит наружние кубики тоже расскрашены таким же образом

$$1000*2=2000$$

Но можно не красить 3 кубика так как все равно из остальных найдется 1 окрашенный уголок

То есть

$$2000-3*2=1994$$