Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Есеп №1. Мұғалім тақтаға төмендегі ережеге сәйкес цифрлар тізбегін жазады: егер соңғы және оған дейінгі жазылған цифрлар $a$ мен $b$ болса, онда мұғалім келесі сан ретінде $a \cdot b$ санының соңғы цифрін жазады. Мысалы, егер бастапқыда 1 және 8 сандары тақтада жазылған болса, тізбек былай жалғастырылады: 1; 8; 8; 4; 2; $\ldots$. Бастапқыда тақтада 3 пен 4 цифрлары жазылған. 2019-ші сан неге тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Келесі теңдеуді шешіңіз: $5x^2+6y^2=6y-9.$
комментарий/решение(17)

Есеп №3. Спорттық қоғамдастықтың мүшелері тенниспен немесе жүзумен айналысады. Осы қоғамдастықтағы бүкіл жүзушілердің жастарын алғанда, орташа арифметикалық мәні 15-ке тең болды. Сонымен қатар, тенниспен айналасушылар жастарының орташа арифметикалық мәні 25-ке тең. Бір күні тенниспен айналысатын адам теннистен жүзуге көшкен. Осыдан кейін екі группадағы жастың арифметикалық мәні 1-ге артқан. Барлық адамдардың жастары — натурал сандар. Қоғамдастықта жиыны қанша мүше болған? Барлық мүмкін жағдайларды келтіріп, басқалар болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Университетте 2019 студент оқыса, олардың ішінде төртеуі — салақ. Дегенмен, студенттердің көпшілігі кім салақ екенін білмейді. Әлібек осы университетте оқығысы келгенімен, тек салақ емес студентпен бірге тұрғысы келеді. Әлібек әр студенттен оның ойынша қай 3 адам салақ бола алатынын сұраған. Әрбір салақ студент өзінен басқа үш салақ студенттерді міндетті түрде атаса, қалғандар кез келген студенттерді атай алады. Алынған жауаптарға сүйене отырып, Әлібек өзіне салақ емес көршіні таба алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $ABCD$ төртбұрышы берілген. $X,$ $Y,$ $Z$ нүктелері сәйкесінше $DA,$ $AB,$ $BC$ кесінділердің ортасы. Шарт бойынша, $XY\perp AB,$ $XZ\perp BC,$ болып шықты. $ACB$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение