Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

В спортивном сообществе каждый либо занимается плаванием, либо теннисом. Известно, что среднее арифметическое возрастов тех, кто занимается плаванием, равно 15. Кроме того, среднее арифметическое возрастов тех, кто занимается теннисом, равно 25. Однажды, один из тех, кто занимается теннисом решил вместо этого начать заниматься плаванием. После этого среднее арифметическое возрастов каждой из групп увеличилось на 1. Возрасты всех членов сообщества – натуральные числа. Сколько человек было в этом сообществе? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Комментарий/решение

Ответ: 2-9, 8-1

Обозначим количество людей занимающихся плаванием как $x$ и тех кто занимается теннисом как $y$

Тогда возраст людей которые ими занимаются это $25x$ и $15y$ после того как один человек ушел это изменилось и стало $26(x-1)$ и $16(y+1)$

Выходит что $x+y=10$

$$x \geq 2$$

Если $x=2$ то $25x=50$ а $26x-26=26$ и $y=8$ то $15y=120$ а $16y-16=144$ что верно

Аналогично проверяем остальные и удостоверяемся что они верны