қазақша
русскийРеспубликанская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.
Задача №1. Учительница выписывает на доску последовательность цифр по следующему правилу: если последняя и предпоследняя выписанные цифры были равны $a$ и $b$, то на доску учительница записывает последнюю цифру числа $a\cdot b$. Например, если изначально на доске были бы записаны цифры 1 и 8, то последовательность была бы продолжена как $1; 8; 8; 4; 2; \ldots$. Известно, что изначально на доске были записаны цифры 3 и 4. Какая цифра будет записана 2019-ой?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В спортивном сообществе каждый либо занимается плаванием, либо теннисом. Известно, что среднее арифметическое возрастов тех, кто занимается плаванием, равно 15. Кроме того, среднее арифметическое возрастов тех, кто занимается теннисом, равно 25. Однажды, один из тех, кто занимается теннисом решил вместо этого начать заниматься плаванием. После этого среднее арифметическое возрастов каждой из групп увеличилось на 1. Возрасты всех членов сообщества – натуральные числа. Сколько человек было в этом сообществе? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В университете учатся 2019 студентов, четверо из которых – двоечники, но мало кому известно, кто они. Алибек приехал учиться в этот университет и хочет найти себе соседа по комнате, который не будет двоечником. Он попросил каждого из студентов назвать троих, которые, по его мнению, являются двоечниками. Каждый двоечник назвал трех других двоечников, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что пользуясь этими данными, Алибек сможет найти себе соседа по комнате, не являющегося двоечником.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дан четырехугольник $ABCD$. Точки $X, Y, Z$ — середины отрезков $DA, AB, BC$ соответственно. Оказалось, что $XY \perp AB$, $XZ \perp BC$, а $\angle BCD=90^\circ$. Найдите угол $ACB$.
комментарий/решение
комментарий/решение