Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

В университете учатся 2019 студентов, четверо из которых – двоечники, но мало кому известно, кто они. Алибек приехал учиться в этот университет и хочет найти себе соседа по комнате, который не будет двоечником. Он попросил каждого из студентов назвать троих, которые, по его мнению, являются двоечниками. Каждый двоечник назвал трех других двоечников, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что пользуясь этими данными, Алибек сможет найти себе соседа по комнате, не являющегося двоечником.

Комментарий/решение

Мы знаем если будут 4 человека которые друг друга назвали а таких хотя бы 1. То эта четверка может быть двоечниками.$$2019 \equiv 3 \pmod {4}$$ тогда студенты не могут поделиться так на 4 группы. Это означает что хотя бы 1 не будет состоять в такой четверке. Значит этот ученик может быть соседом по комнате Алибеку.